Calcul de limite

Ily.Doude

Bonjour,

Excuser moi, je reprends ma demande. 

Voici l’énoncé :

Donner une démonstration abrégée de l'égalité suivante :

1+1/(1+1/(1+...))= √(1+√(1+...))

J’ai donc pour résoudre ce problème commencé par redéfinir mes suites:

U(n):
U(n+1)=f(U(n)) et U(0)=1
Avec f(x)=1+1/x

V(n):
V(n+1)=g(V(n)) et V(0)=0
Avec g(x)= (1+x)^(1/2)

Par la suite je note la limite de U(n) quand n tend vers +infinie : l.
Lim U(n)= l
n-->+infinie

On peut aussi dire :
Lim U(n+1)= l
n-->+infinie
Donc
     Lim U(n)=Lim f(Un) 
n-->+infinie   n-->+infinie
Je cherche donc la valeur de l qui permet de répond à cette égalité :
l=1+1/l
Je me retrouve avec le polynômes
l²-l-1=0
Qui admet deux racines.

Ensuite je note la limite de V(n) quand n tend vers +infinie : l’ ; et j’applique le même raisonnement.

Je me retrouve aussi avec le polynôme :

l’²-l’-1=0

Et je trouve comme solution les mêmes racines que pour le polynôme précédent
Je voulais donc savoir si montrer que les suites ont les mêmes limites démontre l'égalité de l'énoncé.
Merci d'avance
Cdlt

Ily.Doude

Bonjour,

J’ai un autre problème de calcule de limite.

L’énoncé est le suivant.

Calculer la limite de la fonction suivante de la variable $x$ au point $a$ indiqué :

$ f(x)= (a^2-x^2)\tan(\pi x/2a) $, avec $a \in\R^*$.

Déjà on a une forme indéterminée du type : $0\times \infty$

J’ai pour traiter ce problème tenté d’utiliser la piste des développements limités :

J’ai utilisé celui de $ \tan(x)= x+(x^3/3)+(2 x^5/15)+o(x^5) $.

Ensuite pour l’intégrer dans mon problème je pose $X=\pi x/2a$

$ f(x)= (a^2-x^2)\big(( \pi x/2a) +(\pi x/2a )^3/3+2( \pi x/2a )^5/15+o(\pi x/2a )^5\big) $

Maintenant j’analyse ce qui se passe quand $x$ tend vers $a$ :

$(a^2-x^2)$ tend vers $0$

$(\pi x/2a) +( \pi x/2a )^3/3+2( \pi x/2a )^5/15$ va tendre vers une valeur définie.

$o(\pi x/2a )^5$ c’est là mon problème, je ne comprends pas bien comment fonctionne ce terme malgré les vidéos que j’ai regardées. 

Si vous pouvez m’éclairer à ce sujet cela m’aiderait 

Merci d’avance.

Cordialement.

gerard0

Bonsoir.

"Je voulais donc savoir si montrer que les suites ont les mêmes limites démontre l'égalité de l'énoncé." Tu n'as pas montré que les suites ont la même limite.

Autre défaut de ton texte. Tu as supposé l'existence d'une limite finie dans les deux cas. Elle reste à démontrer.

Donc à finir.

Pour l'autre limite. Le développement limité que tu emploies n'a de sens qu'au voisinage de $0$ (où la tangente tend vers $0$). Or dans ta limite, $\pi\frac x {2a}$ ne tend pas vers $0$. Et ton reste, le $o(x^5)$ (les constantes ne changent rien n'a pas de sens puisque $x$ ne tend pas vers $0$).

Une méthode de niveau lycée : réécrire ton $f(x)$ en faisant apparaître la formule de la définition de la dérivée en $a$ d'une fonction. Donc une division par $x-a$. Le $x-a$ est bien présent (factorise $x^2-a^2$), mais comme il multiplie, il faut qu'il divise le dénominateur. Or $\tan u=\frac 1 {\cot u}$, ce qui donne finalement $\displaystyle f(x) = (x+a)\frac 1{\frac{\cot(\pi\frac x{2a})}{x-a}}$.

Cordialement.