Démonstration triviale

Pavel Gorofsky

Bonjour à tous
Selon-vous une démonstration triviale produit-elle nécessairement un résultat trivial ?
Bien à vous camarades.

gerard0

Bonjour.

Quel est le sens de "trivial" ? Une des définitions du mot en français courant est "Qui est d'une crudité choquante, malséante ; grossier, vulgaire".

Cordialement.

Foys

Dans le parler matheux courant, ce sont les preuves qui sont triviales et on qualifie de trivial un énoncé dont la preuve est triviale.
Après certaines preuves triviales peuvent passer longtemps inaperçues: par exemple:
étant donné un ensemble fini de points du plan, s'ils ne sont pas tous alignés, il existe une droite qui passe par exactement deux de ces points (Sylvester-Gallai. Il a fallu des décennies pour montrer ça; exo!! Consulter le web si on n'y arrive pas, tout est documenté).

Blueberry

@Foys : la preuve dans une géométrie ordonnée n'est pas triviale du tout (et c'est elle qui a résisté). Voir Coxeter, Introduction to Geometry, ch 12

Maxtimax

Je ne suis pas forcément d'accord avec ce que Foys dit. C'est souvent associé, mais une preuve difficile-à-trouver-mais-triviale-une-fois-qu'on-la-voit ne mène pas forcément à un résultat trivial.

On parle alors parfois d'astuces, sauf quand ça se généralise à d'autres contextes (et peut devenir une méthode).

D'autant plus que "preuve triviale" dépend énormément du background supposé. En particulier, quand une nouvelle technologie est introduite et permet de trivialiser certaines preuves, on obtient les mêmes énoncés (qui n'en sont donc pas plus triviaux) avec des preuves triviales

PetitLutinMalicieux

Bonjour

On ne cherche pas une preuve difficile et un résultat évident, mais l'inverse. Un résultat pas évident et une preuve facile. La question est "cela existe-t-il ?".

Mon premier réflexe est de penser à la quantité de partie d'échecs, qui est finie. Ce n'est pas évident a priori. Mais la démonstration est facile puisque, de proche en proche, on aboutit toujours à une règle qui met fin à la partie. Inutile de dire qu'il est inenvisageable de faire tous les cas possibles.

Foys

@Blueberry: on peut faire comme suit: l'argument courant pour montrer ce théorème marche dans un corps réel clos.

Soit $K$ un corps ordonné et $E\subseteq K^2$. Soit $L$ un surcorps de $K$. Alors $E$ est aligné dans $L^2$ si et seulement si il l'est dans $K^2$. Par suite on peut exploiter le fait que tout corps ordonné est plongé dans un corps réel clos (cf Bourbaki algèbre chapitres 4 à 7).

Je ne sais pas par contre dans quelle mesure ces notions étaient connues à l'époque.

gai requin

Sylvester proposa ce problème en 1893 et sa résolution dut attendre les années 1940.
Le résultat de Foys sur les corps réels clos (dû à Artin-Schreier) date de 1927.
Source : English Wikipedia

Dreamer

Bonjour.

Il est bien que soit venue une règle interdisant les positions mobiles stationnaires au jeu d'échecs, sinon la finitude... mais cette règle pas si triviale n'est pas si ancienne que cela.

À bientôt.

Foys

Je viens de réaliser que la "géométrie ordonnée" dont parle Blueberry n'est pas celle des corps ordonnés mais plutôt ceci: https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_geometry
Pour le coup le résultat a l'air bien plus difficile certes!

Héhéhé

Je pense à plusieurs résultats, comme le principe des tiroirs, le théorème de Bayes ou le lemme de Schur qui sont simples à démontrer mais qui ont des implications profondes loin d'être triviales...

Chaurien

Issaï Shur (1875-1941) a à son actif plusieurs découvertes. Je présume que le « théorème de Schur » évoqué ici est celui qui dit que pour toute partition finie de $\mathbb N^*$, l'une des classes au moins contient trois entiers $x,y,z$ tels que $x+y=z$. C'est en relation avec la théorie de Ramsey, et moi ça ne m'a pas l'air si trivial.
Il y a sans doute des « degrés de trivialité », liés aussi aux divers niveaux des personnes.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Maxtimax

Ce qui était évoqué ici est le "lemme" de Schur, pas le théorème.

Le lemme de Schur est bien plus simple, il affirme que si $V,W$ sont deux représentations irréductibles d'un groupe $G$, et $f:V\to W$ un morphisme non nul, alors il est inversible. Celui-ci est bien plus simple.

Poirot

Non, le lemme de Schur qui est simple (mais très important !) est le suivant :

Lemme : Soient $V$ et $W$ des représentations linéaires irréductibles du groupe $G$, et soit $f : V \to W$ une application $G$-équivariante. Alors $f$ est non nulle si et seulement si $f$ est un isomorphisme.

Démonstration : Une implication est triviale. Réciproquement, si $f$ est non nulle, alors son image n'est pas réduite à $\{0\}$. Or, $f$ étant $G$-équivariante, son image est une sous-représentation de $W$, et donc par irréductibilité, $f$ est surjective. De même le noyau de $f$ est une sous-représentation de $V$, et $f$ étant non nulle, l'irréductibilité de $V$ implique que ce noyau est $\{0\}$. Finalement, $f$ est un bien un isomorphisme.

Corollaire : Si $V$ est une représentation linéaire irréductible du groupe $G$ sur un corps algébriquement clos $k$, alors $\dim \mathrm{Hom}_G(V, V) = 1$. En particulier, si $G$ est abélien, $V$ est une droite.

Démonstration : Il suffit de montrer que s'il existe un morphisme de représentations non nul de $V$ dans $V$ alors c'est une homothétie. Mais si $f$ est un tel morphisme, et $k$ étant algébriquement clos, $f$ admet au moins une valeur propre $\lambda$. Mais alors $f - \lambda \mathrm{id}_V$ est également un morphisme de représentation, et il est non injectif par définition de $\lambda$, et donc d'après le lemme de Schur, est nul.

On peut déduire de tout ça l'orthogonalité des caractères de représentations irréductibles non isomorphes d'un groupe fini, ce qui est véritablement fondamental pour la théorie des représentations de ces groupes.

Maxtimax

Poirot : comment ça "$V$ est une droite" ?

Poirot

J'avais oublié de préciser une hypothèse importante. :-D

Georges Abitbol

Le théorème de Bell est trivial aussi. Pourtant...

Moi, plus ça va, et moins je comprends ce que "trivial" veut dire.

Héhéhé

Élève Chaurien, vous me recopirez 100 fois "je ne dois pas confondre lemme et théorème" (:P)

Martial

Elève Héhéhé, vous me recopierez 100 fois : "je recopierai, tu recopieras, il recopiera, nous recopierons, vous recopiErez, ils recopieront".

Zgrb

$Elève Martial, vous me recopierez 100 fois :^{Elève Martial, vous me recopierez 100 fois :^{Elève Martial, vous me recopierez 100 fois :^{Elève Martial, vous me recopierez 100 fois :^{Elève Martial, vous me recopierez 100 fois :^{Elève Martial, vous me recopierez 100 fois :^{Elève Martial, vous me recopierez 100 fois :^{Elève Martial, vous me recopierez 100 fois :^{Elève Martial, vous me recopierez 100 fois :}}}}}}}}$

Chaurien

Ça me rappelle un dessin humoristique dans le bulletin de l'IREM Paris-Nord il y a dans les 40 ans. Le cancre puni se prélassait car il avait juste programmé : for i:=1 to 100 print "je ne dois pas confondre lemme et théorème". À l’époque, c’était furieusement moderne.

Martial

@Zgrb : à ce propos, sais-tu pourquoi l'ordinal $\varepsilon_0$ s'appelle ainsi ?

Pour info, on pose $\alpha_0 = \omega$, $\alpha_{n+1} = \omega^{\alpha_n}$ et $\varepsilon_0 = sup \{\alpha_n : n \in \omega\}$.