Développer un produit

Ignotus

Bonjour à tous, comment peut-on trouver ce développement de produits en sommes ? Merci.

Dom

Cela fait penser à un produit de polynômes, qui est un polynôme (donc qui s’écrit avec une somme).
Aussi, je commencerais à tenter une récurrence sur le nombre de facteurs.

Poirot

Formellement c'est une récurrence suivie d'un passage à la limite. Chaque étape de la récurrence est justifiée par un produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes (j'imagine que chaque $p_n$ est supérieur à $1$ (et même qu'il s'agit d'un nombre premier).

JLapin

Tout étant positif, il n'y a pas besoin de considérer de sommes finies je pense. Effectivement, une récurrence sur n devrait suffire à convaincre on ne sait trop qui.
Si la question porte sur "comment peut-on avoir l'idée de développer ainsi ce produit", la réponse est probablement "grâce à une bonne maitrise de la propriété de distributivité".