Sous-groupes de $(\Bbb Q^*,\times)$
Bonjour !
J'aimerais déterminer tout les sous groupes (où la forme des sous groupes) du groupe $(\mathbb{Q}^{*}, ×).$
J'ai lu dans un document que peut importe la loi qui rend $\mathbb{Q}$ groupe, les sous groupes de $\mathbb{Q} $ sont de la forme $r\mathbb{Z}$ où r est un rationnel. Mais quand je regardais cette proposition j'ai observé (sauf erreur) que cela était vrai seulement si la loi qui rend $\mathbb{Q}$ groupe est +.
Si mon analyse est bonne j'aimerais savoir quelles sont donc les sous groupes de $(\mathbb{Q}^{*}, ×).$
J'aimerais déterminer tout les sous groupes (où la forme des sous groupes) du groupe $(\mathbb{Q}^{*}, ×).$
J'ai lu dans un document que peut importe la loi qui rend $\mathbb{Q}$ groupe, les sous groupes de $\mathbb{Q} $ sont de la forme $r\mathbb{Z}$ où r est un rationnel. Mais quand je regardais cette proposition j'ai observé (sauf erreur) que cela était vrai seulement si la loi qui rend $\mathbb{Q}$ groupe est +.
Si mon analyse est bonne j'aimerais savoir quelles sont donc les sous groupes de $(\mathbb{Q}^{*}, ×).$
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Réponses
Tu pourrais commencer par chercher toi-même des sous-groupes. Il y en a deux évidents, puis on en trouve facilement toute une kyrielle.
A toi de faire ...
NB : Effectivement, les sous groupes de $(\mathbb Q,+)$ sont ceux que tu dis, mais dès que tu élimines 0, l'ensemble est différent, donc la question a changé.
Edit : évidemment on ne peut pas prendre le log d'un nombre négatif... cf remarque ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2302566,2302632#msg-2302632
Je pense aussi aux groupes de la forme $(A,×)$ où $A= \{a,1,\frac{1}{a}\}.$ Avec a rationnel non nul.
Mais n'y a-t-il pas plus générale encore ?
Edit : évidemment on ne peut pas prendre le log d'un nombre négatif... cf remarque ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2302566,2302632#msg-2302632
1- Le résultat est faux même pour $(\mathbb Q,+)$, on pourra penser par exemple à $\mathbb Z[\frac{1}{p}]$ qui n'est pas monogène ($p$ un nombre premier par exemple). Il est en particulier évidemment faux pour d'autres structures de groupes, où les $r\mathbb Z$ ne seront même pas forcément des sous-groupes...
(pour $(\mathbb Q,+)$, on sait décrire les sous-anneaux de $\mathbb Q$, qui nous donnent un grand nombre d'exemples de sous-groupes, non exhaustif, "bien entendu")
2- $( \mathbb Q^*,\times)$ a une description en tant que groupe qui est très simple, bien plus que $(\mathbb Q,+)$. En effet, grâce aux nombres premiers, il est isomorphe à $\mathbb Z/2\times \bigoplus_{p\in \mathcal P}\mathbb Z$ ($\mathcal P$ l'ensemble des nombres premiers). Cela fournit une floppée de sous-groupes (sans pour autant tous les décrire), par exemple pour tout sous-ensemble $S\subset \mathcal P$ on a $\mathbb Z/2\times\bigoplus_{p\in S}\mathbb Z$, ou $\bigoplus_{p\in S}\mathbb Z$, ou encore $\mathbb Z/2$ .
3- L'idée d'utiliser le log de raoul.S ne serait pas mauvaise en principe, mais je doute qu'on sache décrire les sous-groupes de $(\mathbb R,+)$ (on sait qu'ils sont monogènes ou denses, mais ça ne nous renseigne pas tant que ça...)
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Je pense que toute les conditions sont vérifiées
Ah ok. Sorry.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Lorsque qu'on utilise la restriction du logarithme. C'est quelle propriété qui permet de faire le transfert de structure ?
Oui je pensais que ce niveau de détails suffisait.