Groupes topologiques

Homo Topi

J'ai une meilleure idée pour continuer un peu sur les groupes topologiques. Il faudrait que je m'en fasse une petite sociologie à base d'exemples. Regarder un peu qui est compact, connexe, s'il y a des sous-groupes denses, etc. Je me fabriquerai sans doute moi-même des exercices.

Pour l'instant, il me faudrait une liste de groupes intéressants à regarder de plus près. Je connais déjà pas mal d'exemples qui sont tous des groupes de Lie :
- $(\R,+)$, $(\R^*,\times)$, $(\R_+^*,\times)$, $(\C,+)$, $(\C^*,\times)$, racines de l'unité, $S^1$
- $GL_n$, $SL_n$, $O_n$, $SO_n$, $U_n$... et les groupes symplectiques que je connais moins (pour l'instant)

Je connais certaines de leurs propriétés et je sais à peu près où chercher les résultats intéressants à propos de ces groupes-là.

Ma question pour vous : est-ce qu'il y a d'autres groupes topologiques qui sont standard, classiques, utiles, bons à connaitre, et que je n'ai pas encore listés ? Ah, et, pas la peine de mentionner les ensembles de nombres $p$-adiques : je sais déjà que ça existe, mais je me garde ça de côté exprès, pour l'instant.

Poirot

Toujours dans le même style il y a les groupes d'isométrie de formes quadratiques non définies, souvent notés $O(p,q)$ (et pareil $U(p,q)$ pour les formes hermitiennes non définies), dont on peut établir des homéomorphismes intéressants (cf. H2G2 ancien tome 2 si ma mémoire est bonne). Et puis il y a les versions projectives de tous les groupes que tu cites ($\mathrm{PGL}_n(\mathbb R)$ et compagnie).

Il y a aussi tous les produits des groupes que tu cites (par exemple le tore $\mathbb S^1 \times \mathbb S^1$), et des versions "plus rationnelles" comme $\mathrm{GL}_n(\mathbb Q)$ ou $\mathbb S^1 \cap \overline{\mathbb Q}$.

On peut aussi penser au groupe des quaternions de norme $1$, qui n'est pas sans rapport avec les groupes précédents.

Homo Topi

Merci, en effet pas besoin de chercher si loin que ça.