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Identité du parallélogramme généralisée

Bonjour
Je cherche à démontrer l'identité du parallélogramme suivante.
$$
\forall n\ge 2, \ \forall x_1, x_2, \ldots,x_n \in H,\quad 2^{-n}||\epsilon_1x_1+\cdots +\epsilon_nx_n||^2=||x_1||^2+\cdots+||x_n||^2,
$$ avec $\epsilon_i=\pm1$ et $H$ un espace de Hilbert.

Je me suis lancé dans une démonstration par récurrence.
Pour $n=2$, on retrouve l'identité du parallélogramme classique.
Pour la partie hérédité, je remarque que :
$||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n+\epsilon_{n+1}x_{n+1}||^2-||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n-\epsilon_{n+1}x_{n+1}||^2=2(||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n||^2+||x_{n+1}||^2).$

Dans le membre de droite, je peux donc utiliser mon hypothèse de récurrence pour obtenir :
$||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n+\epsilon_{n+1}x_{n+1}||^2-||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n-\epsilon_{n+1}x_{n+1}||^2=2(2^n(||x_1||^2+\cdots+||x_n||^2)+||x_{n+1}||^2).$
Et donc que :
$||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n+\epsilon_{n+1}x_{n+1}||^2=2(2^n(||x_1||^2+ \cdots +||x_n||^2)+||x_{n+1}||^2)+||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n-\epsilon_{n+1}x_{n+1}||^2.$

Bon et je vois bien que je ne peux pas conclure... Ou alors, et très certainement, il y a quelque chose que je ne vois pas.
Pourriez-vous m'indiquer des pistes de résolution ?
Merci :-)

Réponses

  • Bonjour francoisjean. Tu te trompes d’énoncé, le bon est
    $$\frac{1}{2^n}\sum_{\epsilon_1,\ldots\epsilon_n=\pm 1}\|\epsilon_1 x_1+\cdots+\epsilon_n x_n\|^2=\|x_1\|^2+\cdots+\|x_n\|^2.$$ Pour faire la récurrence de $n$ a $n+1$ poser $a=\epsilon_1 x_1+\cdots+\epsilon_n x_n$ et utiliser $$\frac{1}{2}\|a+x_{n+1}\|^2+\frac{1}{2}\|a-x_{n+1}\|^2=\|a\|^2+\|x_{n+1}\|^2.$$
  • Bonjour et merci P.

    Du coup, je ne comprends pas l'énoncé, et plus particulièrement comment fonctionne cette somme.

    Peux-tu me l'expliquer ?

    Merci !
  • L'enonce initial de ton message est faux. Le symbole de somme dans le mien signifie qu'on additionne les $2^n$ nombres correspondants aux $2^n$ valeurs possibles de la suite $(\epsilon_1,\ldots,\epsilon_n).$ Exemple pour $n=2:$
    $$\frac{1}{4}(\|x_1 +x_2\|^2+\|-x_1+ x_2\|^2+\|x_1- x_2\|^2+\|-x_1- x_2\|^2).$$
  • ahhhhhh merci beaucoup !
  • Quelle est l’utilisation de cette identité ? Merci
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