Espace vectoriel des fonctions étagées
Bonjour
Je cherche à montrer que l'ensemble des fonctions étagées est un espace vectoriel.
J'ai exploré deux méthodes.
1) Stabilité par multiplication par un scalaire, et par +.
La stabilité par multiplication par un scalaire ne m'a pas posé de problème.
Par contre je n'arrive pas à construire ma démonstration, je pense que le raisonnement tient la route, mais je n'arrive pas à conclure.
2) Montrer que l'ensemble des fonctions étagées $= Vect( 1_A ,\ A \in T)$ (J'ai vu la preuve dans une vidéo de Maths Adulte).
Le première inclusion est évidente par la définition d'une fonction étagée, cependant je ne comprend pas l'inclusion réciproque.
J'ai joint un fichier où j'explique les problèmes/incompréhensions auxquels je fais face pendant la preuve.
En espérant que vous puissiez me venir en aide.
Merci d'avance.
Je cherche à montrer que l'ensemble des fonctions étagées est un espace vectoriel.
J'ai exploré deux méthodes.
1) Stabilité par multiplication par un scalaire, et par +.
La stabilité par multiplication par un scalaire ne m'a pas posé de problème.
Par contre je n'arrive pas à construire ma démonstration, je pense que le raisonnement tient la route, mais je n'arrive pas à conclure.
2) Montrer que l'ensemble des fonctions étagées $= Vect( 1_A ,\ A \in T)$ (J'ai vu la preuve dans une vidéo de Maths Adulte).
Le première inclusion est évidente par la définition d'une fonction étagée, cependant je ne comprend pas l'inclusion réciproque.
J'ai joint un fichier où j'explique les problèmes/incompréhensions auxquels je fais face pendant la preuve.
En espérant que vous puissiez me venir en aide.
Merci d'avance.
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Réponses
Si oui, travaille sur les intervalles où tes deux fonctions sont constantes.
-- Schnoebelen, Philippe
Une fonction étagée est une fonction $f: X \to {\R}$ de la forme : $\sum_i a_i\ \mathrm{indicatrice}(A_i).$
i) La somme a un nombre fini de termes,
ii) $a_i$ un réel pour tout $i$,
ii) $A_i$ un élément de $T$ la tribu sur $X$ pour tout $i$.
-- Schnoebelen, Philippe