Écriture d'un couple d'applications
Bonjour
Question bête : soit $X$ et $Y$ des ensembles quelconques, $f$ une application $X \rightarrow X$, $g$ une application $Y \rightarrow Y$, comment écrivez-vous l'application : $X \times Y \rightarrow X \times Y, \ (x,y) \mapsto (f(x), g(y))$ ?
$f \times g$ ou $(f,g)$, ou peu importe, les deux écritures sont possibles ?
Merci d'avance.
Question bête : soit $X$ et $Y$ des ensembles quelconques, $f$ une application $X \rightarrow X$, $g$ une application $Y \rightarrow Y$, comment écrivez-vous l'application : $X \times Y \rightarrow X \times Y, \ (x,y) \mapsto (f(x), g(y))$ ?
$f \times g$ ou $(f,g)$, ou peu importe, les deux écritures sont possibles ?
Merci d'avance.
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Réponses
Pour la peine, peut-on écrire directement pour $T,X,Y$ des objets de la catégorie $C$, si $X \times Y$ est un objet de $C$ et si les morphismes de la catégorie $C$ sont des applications, ${Hom}_C (T, X \times Y) = {Hom}_C (T, X) \times {Hom}_C (T, Y)$ ?
(en effet, j'ai envie de dire : $f \in {Hom}_C (T, X \times Y) \Leftrightarrow f=(p,q) \in {Hom}_C (T, X) \times {Hom}_C (T, Y)$).
Donc tu peux écrire $=$ si tu es à l'aise avec les identifications canoniques :-D
Mais strictement parlant, l'égalité est fausse, même pour les ensembles
En général si $f: T\to X, g: T\to Y$, on note $(f,g)$ le morphisme $T\to X\times Y$ obtenu.
Dans la situation que tu décris $f\times g$ me semble adapté et c'est ce qu'on utilise souvent.
$Hom_C (T,X) \times Hom_C (T,Y) \rightarrow Hom_C (T, X \times Y), (f,g) \mapsto u$, tel que $ \forall t \in T, u(t)=(f(t),g(t))$ peut s'écrire $u=(f,g)$, donc cela donne l'impression de l'identité.
Mais en fait $u=(f,g)$ est une simple écriture qui se confond avec l'égalité. Bizarre.
La notation a été faite pour que (parce que) cette identification est canonique, "est" l'identité