Calcul d'une intégrale
dans Analyse
Bonjour
Est-ce que vous pouvez me dire comment est-ce qu'on peut calculer la quantité, $$ I = \int_{0}^{ + \infty } e^{ - x^{2} } \cos ( 5 x ) dx \quad ?
$$ Merci d'avance.
Est-ce que vous pouvez me dire comment est-ce qu'on peut calculer la quantité, $$ I = \int_{0}^{ + \infty } e^{ - x^{2} } \cos ( 5 x ) dx \quad ?
$$ Merci d'avance.
Réponses
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Probabilités. Je ne te donne pas plus d'indices, ça suffit quand on a résolu Hodge.
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Je ne sais pas ce que vient faire les probabilités là dedans Homo Topi.
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C'est normal, tu n'as aucune culture mathématique. Ouvre un bouquin de probabilités, tu verras.
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Aucun cours de probabilités ne parle de ce calcul d'intégrale Homo Topi.
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C'est vrai, mais il donne tout ce qu'il faut pour la calculer. Et tu as résolu Hodge, quand même, ce n'est pas un bête calcul comme ça qui va t'arrêter.
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Bonjour.
Pablo, cela m'étonnerais que tu les aies tous lus.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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Quel lien avec Hodge ? Aucun.
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ça sent les fonctions caractéristiques. Non ?
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Bien, tu commences à faire des maths.
Si tu ne trouves pas, je te donnerai une explication en échange de ta résolution par radicaux de $X^5-X-1=0$. -
J'ai oublié comment on aborde les fonctions caractéristiques Homo Topi.
J'ai la flemme de faire le calcul des racines de $ X^5 - X - 1 = 0 $ Homo Topi. -
Bonjour,
Pablo, si tu as la flemme de faire des mathématiques, fais la sieste.
Cordialement,
Rescassol -
Alors essaie de fonctionner comme les humains normaux et lis un cours de probabilités..
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On a, $ I = \displaystyle \int_{0}^{ + \infty } e^{- x^{2} } \cos (5x) $.
On pose, $ J = \displaystyle \int_{0}^{ + \infty } e^{- x^{2} } \sin (5x) $.
Donc, $ I + J = \displaystyle \int_{0}^{ + \infty } e^{- x^{2} } e^{ i 5 x } dx = \mathcal{F} ( e^{ - x^{2} } ) ( - 5 ) $.
et, $ I - J = \displaystyle \int_{0}^{ + \infty } e^{- x^{2} } e^{ - i 5 x } dx = \mathcal{F} ( e^{ - x^{2} } ) ( 5 ) $
Est ce que c'est ça ?
Comment calcule-t-on $ \mathcal{F} ( e^{ - x^{2} } ) ( - 5 ) $ et $ \mathcal{F} ( e^{ - x^{2} } ) ( 5 ) $ ( Transformée de Fourier ) ? -
Allez cadeau.
$I(a) = \int_{R^+} e^{-x^2}\cos(ax)$
$I'(a) = -\int_{R^+} xe^{-x^2}\sin(ax) =_{IPP} -\frac{a}{2}\int_{R^+} e^{-x^2}\cos(ax) = -\frac{a}{2} I(a).$
D'où $I(a) = I(0)e^{-a^2/4} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-a^2/4}$. -
Je donne une version plus longue, mais qui calcule la TDF pour toutes les lois normales.
Première chose : il faut avoir calculé au préalable l'intégrale de Gauss. Elle est très connue, la méthode "la plus courante" utilise des intégrales doubles, c'est facile à trouver sur internet.
Ensuite (je ne justifie rien, c'est de la théorie, cherche par toi-même) :
Pour $m \in \R$ et $a>0$, on pose $F(t) = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{(x-m)^2/a}e^{-itx}dx$. Après changement de variable, on a $F(t) = \displaystyle e^{itm}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{y^2/a}e^{-ity}dy$.
Il faut justifier proprement qu'on a le droit de faire ça (théorème de dérivation sous le signe intégrale, cf n'importe quel cours d'intégration) mais ensuite, on dérive $F$. Il y a des calculs de limites à faire. On voit que $F$ vérifie l'équation différentielle linéaire $F'(t) + \bigg(im + \dfrac{at}{2} \bigg)F(t)=0$. Donc $F(t)=\lambda e^{-imt + at^2/4}$ avec $\lambda \in \C$ qu'on trouve en calculant $F(0)$ (c'est ici qu'on utilise l'intégrale de Gauss), il vaut $\sqrt{a\pi}$. Après on remplace $a$ et $m$ par ce qu'il faut et on a notre TDF.
Pour ton intégrale, il suffit de séparer en partie réelle/imaginaire et d'évaluer. -
Merci beaucoup Homo Topi et noobey. (tu) :-)
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Si tu continues à faire des maths à ton niveau, et que tu restes suffisamment humble, je continuerai peut-être de t'aider.
Pour ce qu'il se passe dans Shtam, par contre, je n'offre aucune garantie, c'est beaucoup trop drôle tel quel. -
Donc pour Pablo $\cos(x) + \sin(x) = e^{ix}$...
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on est plus à un $i$ près...
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Je n'avais même pas vu, je pense que je l'ai rajouté mentalement par réflexe en lisant. Peut-être que c'est juste une étourderie, mais c'est vrai qu'on peut en douter, vu à qui on a affaire...
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Ça vient probablement de la fameuse Caca-theory dont il nous rabat les oreilles.
J'allais expliquer comment faire par mise sous forme canonique mais pour la peine non. -
Passer en complexe.... Cos(5x)=re(....)
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Noobey : je doute que ce cher Pablo escobar connaisse et sache utiliser le théorème de dérivation sous le signe somme...
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Bonjour!
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