Calcul d'une intégrale

Pablo_de_retour

Bonjour
Est-ce que vous pouvez me dire comment est-ce qu'on peut calculer la quantité, $$ I = \int_{0}^{ + \infty } e^{ - x^{2} } \cos ( 5 x ) dx \quad ?

$$ Merci d'avance.

Homo Topi

Probabilités. Je ne te donne pas plus d'indices, ça suffit quand on a résolu Hodge.

Pablo_de_retour

Je ne sais pas ce que vient faire les probabilités là dedans Homo Topi.

Homo Topi

C'est normal, tu n'as aucune culture mathématique. Ouvre un bouquin de probabilités, tu verras.

Pablo_de_retour

Aucun cours de probabilités ne parle de ce calcul d'intégrale Homo Topi.

Homo Topi

C'est vrai, mais il donne tout ce qu'il faut pour la calculer. Et tu as résolu Hodge, quand même, ce n'est pas un bête calcul comme ça qui va t'arrêter.

Dreamer

Bonjour.

Pablo, cela m'étonnerais que tu les aies tous lus.

À bientôt.

Pablo_de_retour

Quel lien avec Hodge ? Aucun.

Pablo_de_retour

ça sent les fonctions caractéristiques. Non ?

Homo Topi

Bien, tu commences à faire des maths.

Si tu ne trouves pas, je te donnerai une explication en échange de ta résolution par radicaux de $X^5-X-1=0$.

Pablo_de_retour

J'ai oublié comment on aborde les fonctions caractéristiques Homo Topi.
J'ai la flemme de faire le calcul des racines de $ X^5 - X - 1 = 0 $ Homo Topi.

Rescassol

Bonjour,

Pablo, si tu as la flemme de faire des mathématiques, fais la sieste.

Cordialement,

Rescassol

Homo Topi

Alors essaie de fonctionner comme les humains normaux et lis un cours de probabilités..

Pablo_de_retour

On a, $ I = \displaystyle \int_{0}^{ + \infty } e^{- x^{2} } \cos (5x) $.
On pose, $ J = \displaystyle \int_{0}^{ + \infty } e^{- x^{2} } \sin (5x) $.
Donc, $ I + J = \displaystyle \int_{0}^{ + \infty } e^{- x^{2} } e^{ i 5 x } dx = \mathcal{F} ( e^{ - x^{2} } ) ( - 5 ) $.
et, $ I - J = \displaystyle \int_{0}^{ + \infty } e^{- x^{2} } e^{ - i 5 x } dx = \mathcal{F} ( e^{ - x^{2} } ) ( 5 ) $
Est ce que c'est ça ?
Comment calcule-t-on $ \mathcal{F} ( e^{ - x^{2} } ) ( - 5 ) $ et $ \mathcal{F} ( e^{ - x^{2} } ) ( 5 ) $ ( Transformée de Fourier ) ?

noobey

Allez cadeau.

$I(a) = \int_{R^+} e^{-x^2}\cos(ax)$
$I'(a) = -\int_{R^+} xe^{-x^2}\sin(ax) =_{IPP} -\frac{a}{2}\int_{R^+} e^{-x^2}\cos(ax) = -\frac{a}{2} I(a).$

D'où $I(a) = I(0)e^{-a^2/4} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-a^2/4}$.

Homo Topi

Je donne une version plus longue, mais qui calcule la TDF pour toutes les lois normales.

Première chose : il faut avoir calculé au préalable l'intégrale de Gauss. Elle est très connue, la méthode "la plus courante" utilise des intégrales doubles, c'est facile à trouver sur internet.

Ensuite (je ne justifie rien, c'est de la théorie, cherche par toi-même) :

Pour $m \in \R$ et $a>0$, on pose $F(t) = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{(x-m)^2/a}e^{-itx}dx$. Après changement de variable, on a $F(t) = \displaystyle e^{itm}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{y^2/a}e^{-ity}dy$.

Il faut justifier proprement qu'on a le droit de faire ça (théorème de dérivation sous le signe intégrale, cf n'importe quel cours d'intégration) mais ensuite, on dérive $F$. Il y a des calculs de limites à faire. On voit que $F$ vérifie l'équation différentielle linéaire $F'(t) + \bigg(im + \dfrac{at}{2} \bigg)F(t)=0$. Donc $F(t)=\lambda e^{-imt + at^2/4}$ avec $\lambda \in \C$ qu'on trouve en calculant $F(0)$ (c'est ici qu'on utilise l'intégrale de Gauss), il vaut $\sqrt{a\pi}$. Après on remplace $a$ et $m$ par ce qu'il faut et on a notre TDF.

Pour ton intégrale, il suffit de séparer en partie réelle/imaginaire et d'évaluer.

Pablo_de_retour

Merci beaucoup Homo Topi et noobey. (tu) :-)

Homo Topi

Si tu continues à faire des maths à ton niveau, et que tu restes suffisamment humble, je continuerai peut-être de t'aider.

Pour ce qu'il se passe dans Shtam, par contre, je n'offre aucune garantie, c'est beaucoup trop drôle tel quel.

Riemann_lapins_cretins

Donc pour Pablo $\cos(x) + \sin(x) = e^{ix}$...

raoul.S

on est plus à un $i$ près...

Homo Topi

Je n'avais même pas vu, je pense que je l'ai rajouté mentalement par réflexe en lisant. Peut-être que c'est juste une étourderie, mais c'est vrai qu'on peut en douter, vu à qui on a affaire...

Riemann_lapins_cretins

Ça vient probablement de la fameuse Caca-theory dont il nous rabat les oreilles.
J'allais expliquer comment faire par mise sous forme canonique mais pour la peine non.

julian

Passer en complexe.... Cos(5x)=re(....)

julian

Noobey : je doute que ce cher Pablo escobar connaisse et sache utiliser le théorème de dérivation sous le signe somme...