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Noyau de dimension 1 ?

Bonjour

Soit $k$ un corps de caractéristique nulle. Soit $M\in M_{2n+1}\left(k\right)$ de coefficients diagonaux nuls et dans $\left\{ -1;1\right\} $ en dehors de la diagonale. On suppose que $M\begin{pmatrix}1\\
\vdots\\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}$. A-t-on nécessairement $\dim\ker M=1$ ?

Réponses

  • Oui ! Lemme des bergers je crois. Pour une matrice de taille 2n qui vérifie tes propriétés tu prends M'=M modulo 2.


    Alors on vérifie que det(M') = 1.


    Ensuite revenons à M. La sous matrice à partie de (2,2) est de taille 2n et est inversible donc rg(M)>=2n
  • Merci ! Je cherchais bien une sous-matrice de taille 2n inversible et n'ai pas pensé à regarder modulo 2 .
  • Application célèbre : si on a 2n+1 vaches telles que, dès qu'on en retire une et forme deux groupes de n vaches avec les restantes, les sommes des masses des vaches dans chaque groupe sont égales, alors chaque vache a la même masse que les autres.
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