Petite justification ensembliste

topopot

Voici deux trucs un petit peu bêtes auxquels j'ai pensés :

1) Étant donné un ensemble quelconque $X$, montrer qu'il existe toujours un ensemble $Y$ tel que $Y\notin X$.
En effet, on peut prendre $Y=X$, ou $Y=\mathcal P(X)$, ou $Y=\mathcal P(\mathcal P(X))$, etc.
Est-ce qu'il y a d'autres constructions plus simples ou est-ce qu'elles sont toutes de cette forme ?

2) Étant donné un ensemble quelconque $X$, montrer qu'il existe toujours un ensemble $Y$ équipotent à $X$ et disjoint de $X$.
Je ne trouve pas de justification satisfaisante pour $X$ quelconque.

Blueberry

Hello,

Pour le 2)
Si $X=\emptyset$ alors $Y=X$ convient.
Sinon, soit $x \in X$, alors le produit cartésien $\{x\} \times X$ est équipotent à $X$ et disjoint de $X$.

Pour le 1), comment justifies-tu que $\mathcal P(X) \notin X$ ?

Palabra

Il existe un ensemble canonique $X_H$ qui satisfait $X_H \notin X$, c'est l'ensemble de Russell $X_H:=\{ x \in X \ | \ x \notin x\}$. On voit que $X_H \in X$ est absurde, car cela donne lieu au célèbre paradoxe.

Blueberry

Euh, $X_H$ n'est pas un ensemble que je sache.

raoul.S

@Blueberry oui c'est bien un ensemble (cf. schéma d'axiomes de compréhension https://fr.wikipedia.org/wiki/Schéma_d'axiomes_de_compréhension)

Intéressant cet ensemble $X_H$ je ne pensais pas comme ça qu'on pouvait expliciter un ensemble qui n'appartient pas à $X$.

Blueberry

Ah oui exact.

Palabra

Blueberry: C'est un ensemble en vertu d'un axiome de compréhension (c'est un sous-ensemble de $X$).

Dans le même ordre d'idée, pour la seconde question, on peut trouver un $x_R$ "petit Russell" tel que $\{x_R\} \times X$ et $X$ (et même $\{x_R\} \times Z$ et $X$ pour n'importe quel $Z$) sont disjoints.

On prend $x_R:=\{ x \ | \ \exists y((x,y) \in X \wedge x \notin x\}$. On peut montrer son existence par compréhension et union, en notant qu'il est inclus dans $\bigcup X$. L'argumentation est ensuite la même que précédemment.

Blueberry

Effectivement, car j'étais en train de me dire que pour $x \in X$ quelconque, les ensembles $\{x\}\times X$ et $X$ n'ont aucune raison d'être disjoints.

Palabra

raoul.S: Oui, c'est une sorte d'axiome du choix gratuit, mais qui tombe toujours à côté (td)

Martial

@topopot : pour le 1), vue la façon ont la question est formilée tu n'est pas obligé de donner un exemple : il suffit de dire que si l'énoncé est faux, on a $\forall Y, Y \in X$, donc $X$ est l'ensemble de tous les ensembles, et on sait que cette notion est contradictoire.

Pour le 2) le 1er exemple qui m'est venu à l'esprit est celui de Blueberry.

Blueberry

Sauf que finalement je ne vois pas pourquoi $\{x\}\times X$ et $X$ seraient disjoints.

Thierry Poma

Bonsoir,

Pour simplifier, soit $\mathfrak{e}$ le type ensemble. Soit $y$ de type $\mathfrak{e}$. Que signifie l'énoncé $(\forall\,x:\mathfrak{e})(x\in{}y)$. Que peut-on en déduire ? (certaines interventions permettent cette déduction).

Pour la 2), l'on se servira de la 1).

topopot

Merci pour vos réponses.

Pour la 1), ma préférée est celle de Martial.

Pour la 2), comme Blueberry, je n'arrive pas à justifier formellement que si $x\in X$, alors $X\cap\left( \{x\}\cup X\right)=\emptyset$.

GG

@topopot, pour 2), il suffit de prendre $h$ hors de $\cup \cup X$ (garanti par 1) ).

$\{ h \} \times X$ est disjoint de $X$.

topopot

Hors de $X$ tu veux dire ? Qu'est-ce que $\cup\cup X$ ?

Poirot

Si $Y$ est un ensemble, $\cup Y$ est la réunion des éléments de $Y$, autrement dit $x \in \cup Y \Leftrightarrow \exists z \in Y, x \in z$.

GG

$\cup X$, c'est la réunion de éléments de X, autrement dit l'ensemble des éléments des éléments de $X$, dont l'existence est garantie par l'axiome de la réunion. $\cup \cup X$, c'est donc l'ensemble des éléments des éléments des éléments de $X$.

Tu choisis $h$ hors de $\cup \cup X$, c'est-à-dire $h$ tel que $h \notin \cup \cup X$.

Si l'on avait $(h, x) \in X$ avec $x \in X$, on aurait $\{ \{h\}, \{h, x\} \} \in X$, soit $h \in \{h\} \in \{ \{h\}, \{h, x\} \} \in X$, ce qui contredit l'hypothèse faite sur $h$.

Palabra

C'est marrant, je croyais que la définition officielle du couple $(a,b)$ était $(a,b):=\{a;\{a;b\}\}$, mais en fait la définition de Kuratowski est bien celle mentionnée par GG.

Thierry Poma

@GG : bonsoir. D'où sors-tu que $X$ est, à l'origine, un ensemble de couples ? En revanche, en vertu du 1), il existe $h\not\in{}X$, de sorte que l'ensemble de couples $Y=\{h\}\times{}X$ convient.

GG

Salut Thierry, je considère $X = \{$ $ \{ \varnothing \}, \{ \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}$ $ \}$ et je choisis $h = \varnothing$ qui n'appartient pas à $X$.

Es-tu sûr que $\{h\} \times X$ convient, à savoir, est disjoint de $X$ ?

Par ailleurs, je n'ai rien supposé à propos de $X$, qui est un ensemble quelconque.

Thierry Poma

@GG : soit $X$ de type ensemble. Par double application de l'axiome de réunion, l'on obtient l'ensemble $\cup\cup{}X$ sur lequel l'on applique le point 1), point d'où l'on tire l'existence de $h$ tel que $h\not\in\cup\cup{}X$. Soit $x\in{}X$. Si l'on avait $(h,\,x)=\{\{h\},\,\{h,\,x\}\}\in{}X$, alors $\{h\}\in\cup{}X$, au même titre que $\{h,\,x\}\in\cup{}X$, de sorte que $h\in\cup\cup{}X$, contrairement à la définition ci-dessus de $h$.

Blueberry

Finalement, pour avoir un ensemble équipotent à $E \ne \emptyset$ et disjoints de $E$ il suffit de poser $\epsilon := \cup \cup E$ et l'ensemble $\{ \epsilon \} \times E$ répond à la question.

Foys

1°) L'argument diagonal montre que pour tout ensemble $W$, l'ensemble $s:=\{x \in W\mid x \notin x\}$ n'appartient pas à $W$ (sans quoi on aurait $s \in s \Leftrightarrow s \notin s$).
2°) Soit $X$ un ensemble et $t$ n'appartenant pas à $\bigcup X$ (édité). Alors $Y:=\{a \cup \{t\} \mid a \in X\}$ est disjoint de $X$ et équipotent à $X$. Noter que $Y$ est une partie de $(\bigcup X) \cup \{t\}$ et que donc son existence peut se montrer sans le schéma de substitution.

Thierry Poma

@Foys : bonsoir. Ta solution au point 2) est plus élégante et n’exige pas de faire appel à un arsenal d'axiomes, là où peu de notions sont nécessaires.

Palabra

Sauf que ce n'est pas une solution...! Ce fil étrange contient déjà je ne sais combien de fois la même solution et autant de variantes erronées; j'ai l'impression que les gens ne lisent pas les messages précédents avant de poster.

Foys

Hop la coquille est corrigée Palabra :-)

Palabra

Ok Foys! Au moins cette solution est un peu différente

topopot

J'ai du mal à vérifier que le $Y$ dans le 2) de Foys marche.

GG

@topopot, j'ai encore pensé à un autre argument (qui fait appel au schéma de remplacement, mais non à l'axiome de la réunion), plus "conventionnel" et qui te conviendra peur-être mieux :

Je note $A \Delta B = (A \setminus \cup (B \setminus A)$ la différence symétrique de $A$ et $B$.

Je choisis $h$ hors de $ \{x \Delta y \mid x, y \in X \}$ et je considère l'ensemble $Y = \{ x \Delta h \mid x \in X \}$.

$X$ et $Y$ sont disjoints et en bijection par l'application

$f : X \rightarrow Y, x \mapsto x \Delta h$