Preuve continuité produit de deux fonctions — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Preuve continuité produit de deux fonctions

Bonjour à tous,

Considérons $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, et $f : X \to Y$ une application continue.

Considérons également $X'$ et $Y'$ deux espaces topologiques, et $g : X' \to Y'$ une application continue.

J'aimerais savoir si il était possible de démontrer par la caractérisation de la continuité par les ouverts que le produit $fg$ est continu.

Par caractérisation séquentielle ou par caractérisation $\varepsilon \backslash \delta$ je parviens à le démontrer, mais j'ai du mal à montrer qu'étant donné un ouvert $U$ de l'espace d'arrivée l'ensemble $(fg)^{-1}(U)$ est un ouvert de l'espace de départ, si quelqu'un possède une piste pour me débloquer je suis preneur.

Réponses

  • Hello ! Que signifie $fg$ ?
  • $fg$ est définie comme le produit de la fonction $f$ et de la fonction $g$.

    Autrement dit $fg : x \mapsto f(x) \times g(x)$
  • Il te faut une multiplication $Y\times Y' \to ???$ pour cela, et il va certainement falloir supposer qu'elle est continue.

    Si tu n'as pas de telle multiplication, la question n'a pas de sens, et si elle n'est pas continue, l'énoncé est faux :-D
  • Que signifie $\times$ ?
    Par exemple avec Y={a,b,c} et Y'={£,&,",#,@} ?

    Cordialement.
  • Donc il faut définir une application de multiplication $m : (x,y) \mapsto xy$ qui va de $Y \times Y'$ dans un espace $Y''$.

    On suppose par ailleurs l'application continue et bien définie.

    Dans ce cas $fg : X'' \to Y''$.

    Les outils étant mieux posés, je reste coincé dans le raisonnement.

    ___________________________

    On considère $U$ un ouvert de $Y''$ et on veut montrer que $(fg)^{-1} (U) \subset X''$ est ouvert.

    Soit $x \in (fg)^{-1} (U)$. Alors $(fg)(x) \in U$.

    $U$ étant ouvert, il existe $r>0$ tel que $B((fg)(x),r) \subset U$.

    Comment puis-je avancer ensuite ?
  • Excellente question gerard0, je ne saurais pas la définir rigoureusement sur des espaces topologiques pris au hasard.
  • En général, on se pose la question de la continuité du produit quand on s'intéresse à des structures algébro-topologiques, par exemple pour définir les anneaux topologiques. Et le produit est souvent une loi interne (donc un seul ensemble). Pourquoi poses-tu cette question hors contexte ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!