Radical d'un idéal

Thibault314

Bonjour,
je travaille le texte suivant sur le théorème des zéros de Hilbert, voir ici, et je n'arrive pas à me convaincre d'un des exemples non prouvé : le fait que $\sqrt{(f)}=(p_1 p_2 \dots p_n)$
Cela me semble naturel mais je ne vois pas du tout comment le prouver... Auriez-vous des idées ?
Bonne soirée,
Thibault

[Préférer "Joindre un fichier" à donner un pointeur sur le net qui disparaîtra tôt ou tard. :-) AD]

raoul.S

Si tu poses $m:=\max\{r_1,...,r_s\}$ et $p:=p_1\cdots p_s$ alors il est évident que $p^{m}\in (f)$ donc $p\in \sqrt{(f)}$ et $(p)\subset \sqrt{(f)}$.

Réciproquement si $g\in \sqrt{(f)}$ alors il existe un entier $r$ tel que $g^r\in (f)$. Donc pour tout $i=1..s, p_i\mid g$, donc $p \mid g$, donc $g\in (p)$.