Irréductible alors d>1 (chaîne de Markov)

Yang

Bonjour
L’exercice est le suivant.

Soit $\{X_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ une chaîne de Markov à temps discret. Montrer que :

si cette chaîne est irréductible alors $\forall i \in E,\ d(i)\geq 1.$

Supposons que $\{X_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ est irréductible.
Soit $i\in S,\ d(i):=\rm{pgcd} \{n\mid p_{ii}^{(n)}>0\ \rm{et}\ n\geq 1\}$
$\{X_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ est irréductible alors : $\forall i;j\in S,\ \exists n\in\mathbb{N},\ p_{ij}^{(n)}>0.$
En prenant $j=i$ alors $\exists n\in\mathbb{N},\ p_{ii}^{(n)}>0.$

Pour ma preuve je suis coincé là.
Svp corrigez-moi si je me trompe. Merci d'avance.

Grenouille factorielle

Bonsoir,

Si d(i)=0, qu'est-ce que ça veut dire, en t'aidant de la définition de d ?

Yang

Bonjour,

Si $d(i)=0$ alors $\forall n\geq1,\; p_{ii}^{(n)}=0$ ce qui est impossible car $\exists n\in\mathbb{N},\ p_{ii}^{(n)}>0.$ donc
$d(i)\in \mathbb{N}^{*}$ c'est à dire $\forall i\in S,\; d(i)\geq 1$

Svp corrigez-moi si je me trompe. Merci d'avance.