Sous-semigroupes de $(\mathbb R, \times)$
dans Analyse
Soient $a_0, a_1$ deux réels et $S:=\{a_0^ma_1^n\mid m,n\in\mathbb N\}$, c'est-à-dire le sous-ensemble de $\mathbb R$ engendré multiplicativement par $a_0$ et $a_1$.
Est-il possible que l'adhérence $\bar{S}$ de $S$ contienne un intervalle de $\mathbb R$ ?
En particulier, est-il possible que $\bar{S}$ soit égal à $\mathbb R_+$, voire $\mathbb R$ tout entier ?
Est-il possible que l'adhérence $\bar{S}$ de $S$ contienne un intervalle de $\mathbb R$ ?
En particulier, est-il possible que $\bar{S}$ soit égal à $\mathbb R_+$, voire $\mathbb R$ tout entier ?
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Réponses
On sait que $\log(\alpha)\mathbb{Z}+\log(\beta) \mathbb{Z}$ est un sous-groupe additif dense dans $\mathbb{R}$. Pour $n$ assez grand, je peux donc trouver des entiers relatifs $p_n,q_n$ tels que $p_n \log(\alpha)+q_n\log(\beta)\in \,]0,\frac{1}{n}[$. Pour des raisons de signe on a forcément $p_n>0,q_n>0$ ou $p_n<0,q_n<0$. (Dans le cas où $p<0,q>0$ on est supérieur à $\min(-\log(\alpha),\log(\beta))$ ce qui est exclu pour $n$ grand. Sans perte de généralité je vais supposer que $p,q>0$ pour une infinité de $n$, sinon je travaille avec $1/\alpha$ et $1/\beta$.
On a alors $\{ N (p_n \log(\alpha)+q_n\log(\beta))\mid N\ge 1\}$ constitue un réseau de $\mathbb{R}_{+}$ de maille inférieure à $\frac{1}{n}$ et ce pour une infinité de $n$. Par passage à l'exponentiellle on en déduit que que $\alpha ^n \beta^m$ est dense dans $[1,+\infty[$ avec des $n,m>0$.
On choisit $1/e<a<1$ de sorte à ce que $\ln(a)$ soit bien approximable par des rationnels, en particulier on veut qu'il existe des entiers naturels $p$ et $q$ arbitrairement grands tels que
\[
\left|\ln(a) +\frac p q \right|\leq \frac{1}{q^{2}}. \quad \quad \quad (1)
\]
De tels nombres existent, il s'agit en fait des irrationnels. On choisit alors $b$ tel que $\ln(b)=\ln(a)+1>0$, qui est lui aussi bien approximable.
Soit $\varepsilon >0$, on veut montrer qu'il existe des entiers $n$ et $k$ tels que $|a^n b^k -1|<\varepsilon$. Ceci revient à chercher des entiers $n $ et $k$ tels que
\[
|n\ln(a)+k\ln(b)| < \varepsilon \Leftrightarrow |(k+n) \ln(a) +k|< \varepsilon. \quad \quad \quad (2)
\]
Soient $p$ et $q$ des entiers vérifiant $(2)$ et tels que $1/q <\varepsilon$, puisque $\ln(a) >-1$ on a $p<q$ et il suffit de fixer $k=p$ et $n=q-p$ pour que $(2)$ soit vérifiée. Il existe donc une suite $(s(n))_n$ d'éléments de $S$ qui converge vers $1$.
À partir de là c'est plus ou moins gagné. On peut supposer quitte à extraire une sous-suite que $s(n) -1$ est de signe constant et on peut supposer sans perte de généralité que $s(n)-1 >0$. En effet pour $n$ assez grand et $k$ bien choisi on voit que $a*s(n)^k\in]1-\varepsilon;1[$. Il existe donc deux suites $(s_-(n))_n$ et $(s_+(n))_n$ d'éléments de $S$ qui sont respectivement croissante et décroissante et qui ont chacune $1$ pour limite.
Soit $x \in [1;2]$ et et $\varepsilon >0$ deux réels, on prend $n$ assez grand tel que $2(s_+(n)-1) < \varepsilon$, on voit que la suite $(a* s_+(n)^k)_k$ est croissante, de limite $+\infty$ et que l'écart entre deux termes consécutifs est inférieur à $\varepsilon$ tant que $a*s_+(n)^k$ est inférieur à $2$. Il existe donc un entier $k$ tel que $|a*s_+(n)^k-x|<\varepsilon $, d'ou $[1;2] \in \overline S$. Puisque $\overline S$ est stable par $S$ on en déduit que $\R_+ = \overline S$.
Edit : on m'a devancé !
Si ça vous intéresse, j'étais parti de cet article: M. Misiurewicz, A. Rodrigues, Real 3x+1. Les auteurs considèrent le sous-semigroupe $\mathcal T$ de $\mathrm{Aff}(\mathbb R)$ engendré par deux applications $T_0, T_1$ (dans l'article, $T_0(x)=\frac{x}{2}$, $T_1(x)=\frac{3x+1}{2}$, cf la conjecture de Syracuse). Ils démontrent (Théorème 3.1) que pour tout $x\in\mathbb R_+$, l'orbite $\mathcal T(x)$ est dense dans $]0,+\infty[$. Leur preuve est assez confuse (c'est en tout cas ce que je pense), et qui plus est ne fait appel qu'à des éléments de $\mathcal T$ de la forme $T_1^mT_0^n$. J'avais un gros doute (pas tout à fait levé d'ailleurs).
1. Soit $\gamma$ un réel irrationnel. Alors l'ensemble $\{-m+n\gamma\mid m,n\in \mathbb N\}$ est dense dans $\mathbb R$.
Et la version multiplicative:
2. Soient $a_0$ et $a_1$ des réels (strictement positifs et différents de $1$) tels que $\log a_1/ \log
a_0$ est irrationnel. On note $S=\{a_0^ma_1^n\mid m,n\in\mathbb N\}$ et on suppose (sans perte de généralité) que $a_0< a_1$. Alors:
(a) si $0<a_0<1<a_1$, $S$ est dense dans $[0,+\infty[$ .
(b) si $0<a_0<a_1<1$, $S\subset ]0,1[$ et le seul point d'accumulation est $0$.
(c) si $0<1<a_0<a_1$, $S\subset ]1,+\infty[$ et le seul point d'accumulation est $+\infty$.
Pour 1., on peut s'appuyer sur "le théorème qui dit que" si $\gamma$ est irrationnel, la suite $(n\gamma)_{n\geq 0}$ est équidistribuée modulo $1$. 2(a) en découle immédiatement (en prenant le log et en revenant avec exp). Si pour une raison ou pour une autre on refuse d'utiliser l'argument d'équidistribution, et utiliser seulement le fait que $\{-m+n\gamma\mid m,n\in \mathbb Z\}$ est dense dans $\mathbb R$, on peut s'en tirer mais c'est plus laborieux.
Après, que se passe-t-il si on autorise $a_0$ et/ou $a_1$ négatif ? Il semble raisonnable de penser qu'avec les mêmes hypothèses que 2(a) les ensembles $S'=\{ (-1)^m a_0^ma_1^n \mid m,n\in\mathbb N\}$ et $S''=\{ (-1)^{m+n} a_0^ma_1^n\mid m,n\in\mathbb N\}$ sont denses dans $\mathbb R$ tout entier, mais je n'arrive pas à le montrer.
Alors $0<x^2<1<y$ et $\log(x^2)/\log(y)=2 \log(a_0)/ \log(a_1)$, donc n'appartient pas à $\Q$.
Donc $E=\{x^{2m}y^n | m,n \in \N\}$ est dense dans $[0, + \infty[$, d'après 2(a).
Donc $xE$ est dense dans $]-\infty,0]$ car $x<0$.
Or $xE= \{x^{2m+1}y^n |m,n \in \N\}$
Donc $F=\{x^{m}y^n| m,n\in \N\}=E \cup xE$ est dense dans $\R$.
Donc $F=\{(-1)^ma_0^m a_1^n | m,n\in \N\}$ est dense dans $\R$.