Question de modules
dans Algèbre
Bonjour à tous,
Dans le cadre de ma thèse, je me retrouve à me poser quelques questions sur les modules (je ne connais pas grand-chose aux modules, simplement les définitions de base). Je tombe notamment naturellement sur le problème suivant :
"Soit $d \geqslant k \geqslant 2$.
On travaille dans $\mathbb{R}^d$ muni de son produit scalaire usuel.
On pose $B = \{x \in \mathbb{Z}^d \mid \Vert x \Vert_1 \leqslant k \wedge \Vert x \Vert_{\infty} \leqslant 1 \}$. Autrement dit, $B$ est l'ensemble des vecteurs en dimension $d$ qui s'écrivent avec uniquement des $0,1,-1$ et qui ont au plus $k$ coordonnées non nulles.
Soit $v \in \R^d \setminus \{0\}$ et $H = v^{\perp}$ l'hyperplan normal à $v$.
On suppose alors que $H$ est engendré (en tant que $\mathbb{R}$-ev) par $B \cap H$.
Conjecture : $H \cap \mathbb{Z}^d$ est engendré par $B \cap H$ en tant que $\mathbb{Z}$-module."
Le résultat me semble assez intuitif mais j'ai beaucoup de mal à le démontrer.
En testant ma conjecture à la force brute, tout marche au moins jusqu'à la dimension 6.
Je pense qu'il faut réussir à exploiter la convexité de $B$ (au sens où $B$ est l'intersection d'un convexe avec $\mathbb{Z}^d$).
En effet, dans le cas où $B$ serait non convexe, par exemple pour $d = 3$, $B = \{ (0,1,-1), (0,-1,1), (0,1,1), (0,-1,-1) \}$ et $v = (1,0,0)$, l'hyperplan $H = v^{\perp}$ est clairement engendré par $(0,1,1)$ et $(0,-1,1)$ en tant qu'ev mais $H \cap \mathbb{Z}^d$ ne l'est pas en tant que module.
L'une des pistes que j'ai également exploré est celle de minimiser le nombre de composantes non nulles dans les vecteurs de $B$ choisis pour engendrer $H$ : sans un grand succès jusqu'à présent...
Merci d'avance à ceux qui auront des pistes d'exploration,
En espérant que ce problème vous amuse aussi,
Heuristique
Dans le cadre de ma thèse, je me retrouve à me poser quelques questions sur les modules (je ne connais pas grand-chose aux modules, simplement les définitions de base). Je tombe notamment naturellement sur le problème suivant :
"Soit $d \geqslant k \geqslant 2$.
On travaille dans $\mathbb{R}^d$ muni de son produit scalaire usuel.
On pose $B = \{x \in \mathbb{Z}^d \mid \Vert x \Vert_1 \leqslant k \wedge \Vert x \Vert_{\infty} \leqslant 1 \}$. Autrement dit, $B$ est l'ensemble des vecteurs en dimension $d$ qui s'écrivent avec uniquement des $0,1,-1$ et qui ont au plus $k$ coordonnées non nulles.
Soit $v \in \R^d \setminus \{0\}$ et $H = v^{\perp}$ l'hyperplan normal à $v$.
On suppose alors que $H$ est engendré (en tant que $\mathbb{R}$-ev) par $B \cap H$.
Conjecture : $H \cap \mathbb{Z}^d$ est engendré par $B \cap H$ en tant que $\mathbb{Z}$-module."
Le résultat me semble assez intuitif mais j'ai beaucoup de mal à le démontrer.
En testant ma conjecture à la force brute, tout marche au moins jusqu'à la dimension 6.
Je pense qu'il faut réussir à exploiter la convexité de $B$ (au sens où $B$ est l'intersection d'un convexe avec $\mathbb{Z}^d$).
En effet, dans le cas où $B$ serait non convexe, par exemple pour $d = 3$, $B = \{ (0,1,-1), (0,-1,1), (0,1,1), (0,-1,-1) \}$ et $v = (1,0,0)$, l'hyperplan $H = v^{\perp}$ est clairement engendré par $(0,1,1)$ et $(0,-1,1)$ en tant qu'ev mais $H \cap \mathbb{Z}^d$ ne l'est pas en tant que module.
L'une des pistes que j'ai également exploré est celle de minimiser le nombre de composantes non nulles dans les vecteurs de $B$ choisis pour engendrer $H$ : sans un grand succès jusqu'à présent...
Merci d'avance à ceux qui auront des pistes d'exploration,
En espérant que ce problème vous amuse aussi,
Heuristique
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