B=60° et A=2C
Réponses
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Bonjour à tous,
Merci Bouzar pour cet exercice qui nous permet d'explorer un tant soit peu la géométrie de l'ennéagone régulier, un de mes "dadas" !
Considérant que le triangle ADC est isocèle en C et que les triangles IDA et BAC sont semblables, on aboutit très vite
à l'égalité IC/AB = (DC - ID)/AB = AC/AB - ID/AB = AC/AB - AB/BC = sinB/sinC - sinC/sinA
J'essaie d'aller plus loin en tenant compte des égalités d'angles B = (A+C)/2 et A = 2C, mais je m'y perds un peu ...
Bien cordialement
JLB -
Petite erreur il me semble :
ID/AB = AD/AC = sin20/sin80
Du coup, IC/AB = sin60/sin40 - sin20/sin80 = 1
. -
Merci Zig !
Ce n'est pas une "petite" erreur, elle est grossière !
On a donc IC/AB = AC/AB - AD/AC = sinB/sinC - sin(C/2)/sin(ADC) avec B = 3C/2 et <ADC = A = 2C
JLB -
Bonjour,
Pourquoi être subtil et délicat quand la force brute suffit ?% Bouzar - 08 Septembre 2021 - B=60° et A=2C clc, clear all, close all syms r % r=sqrt(3) j=(-1+i*r)/2; jB=1/j; % On part du triangle de contact UVW avec un angle de 60° syms u v w=u/j; uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit vB=1/v; wB=1/w; %----------------------------------------------------------------------- a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle b=2*w*u/(w+u); c=2*u*v/(u+v); aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués bB=2*wB*uB/(wB+uB); cB=2*uB*vB/(uB+vB); %----------------------------------------------------------------------- % Longueurs des côtés du triangle ABC BC=-2*i*u*(v-w)/((u+v)*(u+w)); CA=-2*i*v*(w-u)/((v+w)*(v+u)); AB=-2*i*w*(u-v)/((w+u)*(w+v)); %----------------------------------------------------------------------- % Condition pour que IC=AB IC2=Factor(c*cB); Eq1=numden(Factor((IC2-AB^2)/4)); Eq1=subs(Eq1,r^2,3); Eq1=subs(Eq1/8,r^3,3*r) % On trouve: Eq1 = 2*u*v^3 - r*v^4*1i - r*u^4*1i - u^3*v - u^4 - v^4 + r*u^3*v*1i; %----------------------------------------------------------------------- % Condition pour que A=2C cosA=(AB^2+CA^2-BC^2)/(2*AB*CA); cosC=(BC^2+CA^2-AB^2)/(2*BC*CA); Eq2=numden(Factor(2*cosC^2-1-cosA)); Eq2=subs(expand(Eq2/2),r^2,3) % On trouve: Eq2 = u*v^3 - r*v^4*1i - r*u^4*1i - 2*u^3*v + u^4 + v^4 + r*u*v^3*1i; %----------------------------------------------------------------------- % Élimination de u entre Eq1 et Eq2 pol1=coeffs(Eq1,u,'All'); pol2=coeffs(Eq2,u,'All'); R=Factor(Resultant(pol1,pol2)) % On trouve: R = 3*v^16*(r^2 - 3)^4 % R=0 car r^2=3, donc c'est gagné !!
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour à tous
À la Lalesco
$$c=2R\sin(\mathbf C)=CI=\dfrac r{\sin\big(\dfrac {\mathbf C}2\big)}\qquad
$$ D'où :
$$2\sin(\mathbf C)\sin\big(\dfrac {\mathbf C}2\big)=\dfrac r R=4\sin\big(\dfrac {\mathbf A}2\big)\sin\big(\dfrac {\mathbf B}2\big)\sin\big(\dfrac {\mathbf C}2\big)
$$ Lalesco, article 16.32, page 114
La relation se réduit à :
$$\sin(\mathbf C)=2\sin\big(\dfrac {\mathbf A}2\big)\sin\big(\dfrac {\mathbf B}2\big)\qquad
$$ C'est évidemment vérifié avec $\mathbf A=80°\ $, $\mathbf B=60°\ $, $\mathbf C=40°.\qquad$
Donc la seule chose à savoir était :
$$\sin(30°)=\dfrac 12.\qquad
$$ Est-ce encore enseigné ?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir Pappus,
Et merci pour cette solution !
Cela fait pourtant déjà quelque temps que je possède un exemplaire du Lalesco, mais j'avoue ne pas encore avoir regardé la quatrième partie, qui est pourtant l'une des deux qui soient le plus abordables pour moi !
Bien cordialement
JLB -
Bonsoir à tous et merci de vos contributions.
Amicalement
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Bonjour!
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