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Sous-variété de classe $C^1$

Bonjour
s'il vous plaît, je cherche la définition d'une sous-variété de classe $C^1$, en anglais c'est "$C^1$ submanifold".

On ne travaille pas sur $\mathbb{R}^N$ mais sur un espace de Banach.
Merci.

Réponses

  • Bonjour, en les appelant plus simplement variétés de classe $C^1$ d'un espace de Banach vous aurez une définition plus concise en français puisqu'un espace de Banach est déjà une variété de classe $C^1$ (et même $C^\infty$) de lui-même.
  • Et c'est quoi la définition svp
  • Si tu débutes en géo-diff, je te conseille de rapidement lire ceci depuis le début. La partie "structure de variété différentielle" donne la définition brute de variété de classe $C^k$ (je préviens, c'est vraiment brut quand on débute) et la partie "sous-variétés" répondra au reste de ta question. Moyennant qu'on sache qu'un espace de Banach peut être muni d'une structure de variété différentielle, bien sûr, comme ça a déjà été dit.
  • Pour n'importe quel Banach il faut commencer par la notion de différentielle : on suppose que $f$ est une application d'un espace de Banach $B_1$ vers un espace de Banach $B_2$ alors la différentielle de $f$ en un point $x_1\in B_1$ est une fonction linéaire continue $l_{x_1}$ telle que $f(x_1+h)=f(x_1)+l_{x_1}(h)+\vert h\vert \varepsilon(h)$ avec
    $\varepsilon(h)\rightarrow 0$ quand $h\rightarrow 0$. Ensuite on définit la fonction différentielle : c'est celle telle que $x_1\mapsto l_{x_1}$.
    Ceci permet de définir les notions de cartes et d'atlas $C^1$ par analogie avec les variétés de dimension $n$.à condition de se donner une topologie pour laquelle l'application
    $x_1\mapsto l_{x_1}$ est continue...etc
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