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Solution maximale

Bonjour à tous
Svp dans quel condition on peut dire qu'une équation non linéaire à coefficient non constant admet une solution maximale sur un intervalle I.
Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour, pour la classe d'équations $u^{n}(t)=F(u(t),\dots, u^{n-1}(t),t)$ on utilise le théorème de Cauchy-Lipshitz (voir sur Wikipedia).
    Pour la classe d'équations $G(u(t),\dots, u^{n}(t),t)=0$ il n'y a pas de méthode générale connue. Tu peux essayer de consulter un bouquin de V.Arnold aux éditions MIR qui a pour a pour titre français "Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires" où Arnold donne quelques pistes de résolution. La traduction française date de 1980 il existe peut-être des rééditions.
  • Ok j'aimerais savoir si je peux toute fois réécrire l'équation sous forme $G(u(t),...,u^n(t),t) $ en $u^n= F(u(t),...,u^{n-1},t)$ c'est à dire que je montre que le coefficient non constant est strictement supérieure à 0 ...je pourrai utiliser le théorème de Cauchy Lipshitz.
  • On ne peut pas toujours, par exemple
    $$y(t)y'(t)+t = 0,\qquad y(0)=0$$
    n'a pas de solutions sur tout intervalle $I$ tel que $0 \in I$ (pour le voir, intégrer l'équation entre $0$ et $t$ pour obtenir $y(t)^2+t^2=0$ pour tout $t \in I$, ce qui est absurde).

    Il faut donc voir au cas par cas si c'est possible.
  • D'accord
    Merci beaucoup
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