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Nombres premiers et progression arithmétique

Bonsoir

J'appelle un nombre premier pressé tout nombre premier $p$ tel que $kp+1$ est aussi premier pour un certain $k<\log(p)$.

Quel est la densité asymptotique des nombres premiers pressés.

Réponses

  • Bonjour.

    Pour que je comprenne bien, le $\log$ en question est bien le logarithme naturel ?

    Il y a certaines valeurs pour $k$ telles qu'il n'y a qu'un nombre fini de $kp+1$ qui soient premiers.

    Une première base est de chercher au niveau des nombres premiers de Sophie Germain.

    À bientôt.

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    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Je ne pense pas que l'on sache répondre à ta question.

    Si $p$ est un nombre premier, on sait, d'après le théorème de Linnik, que le plus petit nombre premier congru à $1$ modulo $p$ est $O(p^L)$ pour une certaine constante absolue $L$ (il me semble que l'on est aux alentours de $5$ inconditionnellement), et c'est le meilleur résultat connu. En particulier, on sait tout au plus borner le plus petit $k$ par $O(p^{L-1})$. Sous l'hypothèse de Riemann généralisée, la borne devient de l'ordre de $(p \log p)^2$, ce qui donne $k$ de l'ordre de $p (\log p)^2$, bien loin de ce que tu attends.
  • Tu veux dire, Poirot, que le meilleur résultat connu ne permet même pas de montrer qu'il y a une infinité de nombres pressés ?

    Edit : non, pas du tout.
  • Poirot, je ne cherche pas à montrer que pour tout $p$ il existe un $k<\log(p)$ tel que $kp+1$ soit premier ... sinon la densité asymptotique sera celle des nombres premiers.
    Ce je veux savoir en fin de compte c'est la chose suivante : connaissant tous les nombres premiers entre $x$ et $2x$ et prenant un premier au hasard, quelle est la probabilité pour que ce premier soit un nombre premier pressé.
  • Le nombre de nombres premiers en question n'excède pas
    $$\ll \sum_{\substack{p \leqslant x \\ kp+1 \; \textrm{premier}}} 1
    $$ et les méthodes de crible permettent de majorer ce nombre par
    $$\ll \frac{x}{(\log x)^2} \prod_{p \mid k} \left( 1 - \frac{1}{p} \right)^{-1}.
    $$ Ainsi
    $$\frac{1}{x} \sum_{\substack{p \leqslant x \\ kp+1 \; \textrm{premier} \\ k < \log x}} 1 \ll \frac{k}{\varphi(k) (\log x)^2} \ll \frac{\log \log k}{(\log x)^2} \ll \frac{\log_3 x}{(\log x)^2}.$$
  • Merci noix de totos. Si j'ai bien compris ma seconde question n'a pas de réponse et qu'on ne sais même pas si il y a une infinité de ses nombres.
  • Noix de toto, je remarque que dans la première relation le $k$ n'est pas bien défini. Et dans la relation finale, c'est $k < \log(p)$ que je cherche et non $k < \log(x)$.

    Mais bon la relation reste valable.
  • J'affirme que pour tout nombre premier $p$ et pour un $k$ naturel donné, il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers de la forme $(2 k + 1) p + 1$.

    La plupart des autres résultats sont effectivement à l'état de conjectures.

    À bientôt.

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  • il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers de la forme $(2k+1)p+1.$
    Pöur $p$ impair on peut même dire qu'il n'y en a pas
  • Khattab, je n'ai fait que majorer : si $k < \log p$ et $p \leqslant x$, alors $k < \log x$.
  • Médiat, c'est bien la raison pour laquelle j'ai pris l'ensemble des nombres premiers, comme la quantification que j'ai donnée informellement en français le précise quand même bien.

    À bientôt.

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  • Noix de toto, tu n'aurais pas un raisonnement heuristique pour "estimer" la densité de ces nombres comme c'est le cas pour les nombres premiers de Sophie Germain ?
  • J'ai bien vu la quantification, mais, ou je n"ai pas compris l'ironie de votre remarque, ou
    1) p est impair (ce qui est courant pour les premiers) et il n'y en a pas
    2) p=2 et il y en a une infinité (tous les premiers congrus à 3 modulo 4)
  • Pour un k donné...

    À bientôt.

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  • Ah ok, donc la phrase serait plutôt :

    Pour tout $k$, l'ensemble des $p$ premiers tels que $(2k+1)p+1$ soit premier est fini

    Mais comme, seul $p=2$ peut convenir, cet ensemble est soit vide soit c'est un singleton
  • Khattab a écrit:
    tu n'aurais pas un raisonnement heuristique.

    Tu cherches à estimer
    $$\frac{1}{\pi(x)} \sum_{\substack{p \, \textrm{et} \, kp + 1 \, \textrm{premiers} \\ e^k < p \leqslant x}} 1.$$
    Comme je ne passe plus beaucoup de temps ici, j'ai uniquement cherché des majorations de cette somme, notamment en virant la condition $p > e^k$, plutôt difficile à traiter.

    En général, les majorations (ou minorations) des méthodes de crible modernes donnent peu ou prou le bon ordre de grandeur. Ainsi, je serais tenté de dire que, heuristiquement, la densité que tu cherches devrait être proche de $\dfrac{k}{\varphi(k) \log x}$, obtenue dans mon message plus haut.

    Remarque pour Dreamer. En théorie des nombres, on n'utilise pratiquement que le logarithme naturel, et il est de tradition de prendre la notation $\log$ pour celui-ci, les autres logarithmes n'étant (pratiquement) jamais utilisés. Très peu d'auteurs utilisent le $\ln$ scolaire, alors que l'arithméticien Olivier Ramaré, par exemple, utilise le $\textrm{Log}$ (avec "L" majuscule), très présent dans les lycées des années 70. De même, une convention établie depuis au moins Edmund Landau est que toute somme ou produit indicé par la lettre $p$ (voire $q$) ne porte exclusivement que sur les nombres premiers.
  • Grand merci pour cette remarque.

    Il est vrai que du point de vue des ordres de grandeurs, un logarithme dans une autre base se traduit par un coefficient multiplicateur de toutes façons intégré dans la constante multiplicative.

    Je ne connaissais par contre pas la convention sur l'indexation par $p$ pour les nombres premiers.

    À bientôt.

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  • Merci .
    Le $k$ dans tes postes est un nombre fixe. Mais bon je vais essayer de creuser la question avec la méthode du crible.

    Encore merci.
  • Oui, $k$ est fixé.

    Les méthodes de crible (crible combinatoire, crible de Selberg, voire grand crible) sont un outil efficace pour ce genre de question, mais ne produisent pas (ou rarement) des égalités asymptotiques. Ce n'est d'ailleurs pas ce qu'on leur demande.
  • Ok, ce que je cherche c'est l'estimation des nombres premiers de la forme $kp+1$ avec $p$ premier et $k$ ne dépassant pas $\log(p)$ et différent de 1 bien sûr.

    L'estimation devrait être beaucoup plus grande par rapport à celle des nombres premiers de Sophie Germain.
  • Dreamer : effectivement, $\ln$, $\log_2$ ou autre, dans un grand "O", ça n'a aucune importance.

    Toutefois, un champs assez nouveau apparaît depuis quelques années en arithmétique : obtenir des résultats explicites des grands théorèmes connus (TNP, TNPPA, Bombieri-Vinogradov, fonctions de nombres premiers, etc).

    Ces résultats explicites, tout à fait intéressants, sont essentiellement la conséquence de deux phénomènes assez récents, et intimement liés :

    (i) La puissance de calcul des ordinateurs de plus en plus importante ;

    (ii) La connaissance de plus en plus précise des zéros non-triviaux de la fonction $\zeta$ de Riemann sur la droite critique.

    Dans ce cas, il est important de savoir de quel logarithme on parle.
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