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Image d'un espace métrique par une isométrie

Bonjour
Je bloque sur un problème simple...

Soit $X$ et $Y$ deux espaces vectoriels normés (de dimensions infinies) et $A \ \colon X \to Y$ une isométrie non surjective. Je cherche à montrer que l'image de $X$ par $A$ est un fermé.

Je n'arrive à le démontrer que si $X$ est un espace de Banach, en remarquant qu'une suite convergente $(y_n)_n$ de $A(X)$ est de Cauchy dans $Y$, donc que $(x_n)_n = (A^{-1}y_n)_n$ est aussi de Cauchy dans $X$, et donc converge (car $X$ Banach) vers un point $x$ dont l'image par $A$ coïncide avec la limite de $(y_n)_n$ par continuité de $A$.

Par contre si $X$ n'est pas complet je ne sais pas le démontrer. Pouvez-vous me guider ?

Réponses

  • C'est faux en général, il suffit de prendre pour $X$ un sous-espace dense de $Y$, et $f$ l'injection de $X$ dans $Y$.
  • Ok merci !

    Du coup l'inverse de $A$ n'est pas forcément continu si $X$ n'est pas un Banach, n'est-ce pas ?
  • Tout à fait.
  • L'inverse de $A$ non continu ? Etrange, qu'appelez-vous l'inverse de $A$ ?
  • L'inverse de la corestriction de $A$ à son image.
  • Et l'inverse d'une isométrie n'en n'est pas une ?
  • J'ai du me tromper quelque part... Si $A$ est une isométrie alors $A^{-1}$ restreint à l'image de $A$ (même si non fermée) est bien continue
  • Oui j'ai répondu n'importe quoi à ce message par réflexe pour dire que le théorème d'isomorphisme de Banach n'est pas vrai quand $X$ n'est pas de Banach.

    L'inverse d'une isométrie (corestreinte à son image) est évidemment une isométrie donc continue. Ce n'est pas contradictoire avec ce que l'on a dit puisque l'image de $f$ est fermée dans... l'image de $f$. :-D
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