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Une intégrale triple

Bonjour à tous
On me demande de calaculer l'intégrale triple suivante.
$$
B=\iiint_{\Delta} x y z(1+x+y+z) d x d y d z ,\quad \text { où } \quad \Delta=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}_{+}^{3}\mid x+y+z \leq 1\right\},

$$ avec pour indication : poser $x=u(1-v), \ y=u v(1-w), \ z=u v w .$

Mon problème est qu'avec cette indication, j'ai du mal à trouver le domaine de variation de $u$, $v$ et $w$.
Je vous prie de m'aider.
Merci d'avance.

Réponses

  • Essaie de calculer x + y + z, y + z et fais tes conclusions.
  • Merci Riemann_lapins_cretins !

    En faisant cela, je trouve $0\le u\le 1$ ; $0\le v\le 1$ ; $0\le w\le 1$ . Mais cette indépendance entre les variables me laisse douter de mon raisonnement.

    Qu'en pensez-vous ?
  • Pourtant tu as bien trois nombres positifs de somme au plus 1 non ?
  • Oui c'est de là que je tire $ 0\le u \le 1$ . Pour $v$ et $w$, je ne vois pas.
  • $ \Delta=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}_{+}^{3}\mid x+y+z \leq 1\right\}$ serait un domaine qui n'est pas borné donc si ce que je dis est juste alors cette intégrale a peu de chance d'être convergente.
  • Bonjour
    Je ne comprends pas ce dit F.D.P

    Le changement de variable transforme bijectivement $\Delta$ en le cube $[0,1]^2$

    Il suffit de faire les calculs, je ne vois pas de problèmes.

    P.S Pour info je trouve $13/5040$ sans ou avec le changement de variable.
  • Oui je ne vois pas pourquoi dans l'énoncé , on propose ce changement de variable.
  • Bd2017: Je dis que le domaine d'intégration initiale est non borné (par exemple si $x,y,z$ sont négatifs $(x,y,z)$ est dans le domaine considéré) on peut donc se poser la question si l'intégrale converge réellement. Après, je n'ai pas fait le changement de variable indiqué.
  • Relis bien le domaine. Tu ne peux pas prendre $x, y, z$ négatifs.
  • Tu as écrit toi-même $(x, y, z) \in \mathbb{R}_{+}^{3}$.
  • Malheureusement ma question n'a pas été resolue. J'aurai bien voulu savoir si on considère le changement de variable imposé dans l'exercice, quel serait le domaine de variation de $u$, $v$ et $w$.
  • Le cas de u est réglé. Tu as calculé y + z aussi ?
  • Ok, je n'avais pas vu le + en indice. :-D
  • Oui, on a $y+z=uv$; on peut affirmer que $uv\le 1$.
  • Sois plus à ce que tu fais. Ton seul problème c'est de voir que v et w ne sont pas négatifs.
  • Est-ce que le domaine d'intégration $\Delta$ est bien une pyramide pleine de sommets de coordonnées: $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$?
  • Oui c'est bien ça, plus précisément un tétraèdre plein. Le changement de variable ne s'impose pas.
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