Caractérisation trigonométrique — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Caractérisation trigonométrique

Bonjour
Je viens de retrouver un bel exercice.

Un triangle ABC est rectangle si, et seulement si, $\quad \sin^2 (\hat{A})+ \sin^2 (\hat{B})+\sin^2 (\hat{C})=2.$

Solution à venir...

Réponses

  • Mon cher Arnaud
    J'ai justement donné la solution dans le fil voisin
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Désolé, pas vu !
  • Bonjour,
    Mettons que l'angle droit soit en $A$, la condition devient
    $1+ \sin^2 (\hat{B})+\sin^2(\hat{C})=2$
    Vu que les angles en $B$ et en $C$ sont complémentaires, $\sin(\hat{C})=\cos(\hat{B})$, nous revoilà en terrain assez connu...
    Amicalement,
    Swingmustard
  • Bonjour

    Lemme. On a :
    $\cos^2 (\hat{A})+ \cos^2 (\hat{B})+\cos^2 (\hat{C}) + 2\cos (\hat{A})\times \cos (\hat{B}) \times \cos (\hat{C})=1.$

    D'où,
    \begin{align*}
    \sin^2 (\hat{A})+ \sin^2 (\hat{B})+\sin^2 (\hat{C})=2 &\iff 3 - (\cos^2 (\hat{A})+ \cos^2 (\hat{B})+\cos^2 (\hat{C}))=2 \\
    &\iff \cos^2 (\hat{A})+ \cos^2 (\hat{B})+\cos^2 (\hat{C}) = 1 \\
    & \iff 1 - 2\cos (\hat{A})\times \cos (\hat{B}) \times \cos (\hat{C})=1\\
    & \iff \cos (\hat{A})\times \cos (\hat{B}) \times \cos (\hat{C})=0\\
    & \iff \hat{A}=\dfrac{\pi}{2} \text{ ou }\hat{B}=\dfrac{\pi}{2} \text{ ou } \hat{C}=\dfrac{\pi}{2} \\
    &\iff \text{ le triangle } ABC \text{ est rectangle}.

    \end{align*} Cordialement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!