Caractérisation trigonométrique

Arnaud_G

Bonjour
Je viens de retrouver un bel exercice.

Un triangle ABC est rectangle si, et seulement si, $\quad \sin^2 (\hat{A})+ \sin^2 (\hat{B})+\sin^2 (\hat{C})=2.$

Solution à venir...

Math Coss

Amusante coïncidence !

pappus

Mon cher Arnaud
J'ai justement donné la solution dans le fil voisin
Amicalement
[small]p[/small]appus

Arnaud_G

Désolé, pas vu !

Swingmustard

Bonjour,
Mettons que l'angle droit soit en $A$, la condition devient
$1+ \sin^2 (\hat{B})+\sin^2(\hat{C})=2$
Vu que les angles en $B$ et en $C$ sont complémentaires, $\sin(\hat{C})=\cos(\hat{B})$, nous revoilà en terrain assez connu...
Amicalement,
Swingmustard

Bouzar

Bonjour

Lemme. On a :
$\cos^2 (\hat{A})+ \cos^2 (\hat{B})+\cos^2 (\hat{C}) + 2\cos (\hat{A})\times \cos (\hat{B}) \times \cos (\hat{C})=1.$

D'où,
\begin{align*}
\sin^2 (\hat{A})+ \sin^2 (\hat{B})+\sin^2 (\hat{C})=2 &\iff 3 - (\cos^2 (\hat{A})+ \cos^2 (\hat{B})+\cos^2 (\hat{C}))=2 \\
&\iff \cos^2 (\hat{A})+ \cos^2 (\hat{B})+\cos^2 (\hat{C}) = 1 \\
& \iff 1 - 2\cos (\hat{A})\times \cos (\hat{B}) \times \cos (\hat{C})=1\\
& \iff \cos (\hat{A})\times \cos (\hat{B}) \times \cos (\hat{C})=0\\
& \iff \hat{A}=\dfrac{\pi}{2} \text{ ou }\hat{B}=\dfrac{\pi}{2} \text{ ou } \hat{C}=\dfrac{\pi}{2} \\
&\iff \text{ le triangle } ABC \text{ est rectangle}.

\end{align*} Cordialement.