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Composition et multiplication des polynômes

Bonjour126380

Réponses

  • Bonjour,

    Il suffit d'écrire ce que ça signifie.

    Cordialement,

    Rescassol
  • C'est assez immédiat : tu "remplaces le $X$ par $T$". Que tu distribues les coefficients avant ou après ne change pas le résultat.
  • Bonsoir, j'ai réussi à le démontrer.

    On pose $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ et $Q(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^m b_k X^k$ où $n=\deg \ P$ et $m=\deg \ Q$.

    Donc $P \circ T(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k T(X)^k$ et $Q \circ T(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^m b_k T(X)^k$

    Ainsi $(P \circ T) (Q \circ T)(X)=\left( \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k T(X)^k \right) \left(\displaystyle\sum_{k=0}^m b_k T(X)^k \right)$

    Soit $\boxed{(P \circ T) (Q \circ T)(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} \left( \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j \right) T(X)^k}$

    Il est évident que $(PQ) \circ T(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} \left( \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j \right) T(X)^k$

    On a montré que $\boxed{(P \circ T) (Q \circ T)(X) = (PQ) \circ T(X)}$
  • Ceci était à ma portée et vous remercie de ce coup de pouce. J'espère ne pas baisser les bras aussi vite une prochaine fois!
  • Une méthode un peu plus algébrique consiste à dire que par bilinéarité du produit de polynôme, il suffit de le prouver lorsque $P$ et $Q$ sont des monômes... auquel cas, la propriété est évidente par propriété des puissances.
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