lim P(|X_1| + ... + |X_n| < n^2)
Bonjour à tous
J'ai un problème de passage à la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de $\mathbb{P}([|X_1|+\cdots+|X_n|\leq n^2])$, où $X_1,\ldots,X_n$ sont i.i.d. de loi normale centrée et réduite. Voici ce que j'ai fait jusqu'alors.
Soit $n$ un entier naturel non nul. Alors on a :
$$\bigcap_{i=1}^{n}\left[|X_i|\leq n\right]\subseteq\left[|X_1|+\cdots+|X_n|\leq n^2\right]$$
En effet, si chaque $|X_i|$ est au plus égal à $n$, alors la somme $|X_1|+\cdots+|X_n|$ est au plus égale à $n\times n$, soit $n^2$. On a donc :
$$\mathbb{P}\left(\displaystyle\cap_{i=1}^{n}\left[|X_i|\leq n\right]\right)\leq\mathbb{P}\left(\left[|X_1|+\cdots+|X_n|\leq n^2\right]\right)\leq 1.
$$ Or, on a :
$$\begin{aligned}
\mathbb{P}\Big(\bigcap_{i=1}^{n}\left[|X_i|\leq n\right]\Big)
&=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}\left(\left[|X_i|\leq n\right]\right),&&\text{car les $X_i$ sont indépendantes}\\[-1.5mm]
&=\big(\mathbb{P}\left(\left[|X_1|\leq n\right]\right)\big)^n,&&\text{car les $X_i$ sont identiquement distribués}\\
&=\big(\mathbb{P}\left(\left[-n\leq X_1\leq n\right]\right)\big)^n\\
&=\big(\Phi\left({n}\right)-\Phi\left(-{n}\right)\big)^n,&&\text{où $\Phi$ est la fonction de répartition d'une loi $\mathcal N(0,1)$}\\
&<\big(\Phi\left({n}\right)\big)^n
\end{aligned}
$$ Mon idée était d'appliquer le "théorème des gendarmes" pour montrer que $\mathbb{P}([|X_1|+\cdots+|X_n|\leq n^2])$ tend vers $1$. Mais la forme $1^{+\infty}$ que j'obtiens est en réalité une indétermination. Je suis donc coincé. Est-ce qu'il y a un résultat pour lever l'indétermination ?
Merci pour vos pistes.
J'ai un problème de passage à la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de $\mathbb{P}([|X_1|+\cdots+|X_n|\leq n^2])$, où $X_1,\ldots,X_n$ sont i.i.d. de loi normale centrée et réduite. Voici ce que j'ai fait jusqu'alors.
Soit $n$ un entier naturel non nul. Alors on a :
$$\bigcap_{i=1}^{n}\left[|X_i|\leq n\right]\subseteq\left[|X_1|+\cdots+|X_n|\leq n^2\right]$$
En effet, si chaque $|X_i|$ est au plus égal à $n$, alors la somme $|X_1|+\cdots+|X_n|$ est au plus égale à $n\times n$, soit $n^2$. On a donc :
$$\mathbb{P}\left(\displaystyle\cap_{i=1}^{n}\left[|X_i|\leq n\right]\right)\leq\mathbb{P}\left(\left[|X_1|+\cdots+|X_n|\leq n^2\right]\right)\leq 1.
$$ Or, on a :
$$\begin{aligned}
\mathbb{P}\Big(\bigcap_{i=1}^{n}\left[|X_i|\leq n\right]\Big)
&=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}\left(\left[|X_i|\leq n\right]\right),&&\text{car les $X_i$ sont indépendantes}\\[-1.5mm]
&=\big(\mathbb{P}\left(\left[|X_1|\leq n\right]\right)\big)^n,&&\text{car les $X_i$ sont identiquement distribués}\\
&=\big(\mathbb{P}\left(\left[-n\leq X_1\leq n\right]\right)\big)^n\\
&=\big(\Phi\left({n}\right)-\Phi\left(-{n}\right)\big)^n,&&\text{où $\Phi$ est la fonction de répartition d'une loi $\mathcal N(0,1)$}\\
&<\big(\Phi\left({n}\right)\big)^n
\end{aligned}
$$ Mon idée était d'appliquer le "théorème des gendarmes" pour montrer que $\mathbb{P}([|X_1|+\cdots+|X_n|\leq n^2])$ tend vers $1$. Mais la forme $1^{+\infty}$ que j'obtiens est en réalité une indétermination. Je suis donc coincé. Est-ce qu'il y a un résultat pour lever l'indétermination ?
Merci pour vos pistes.
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Réponses
$$\frac{1}{n}\big(|X_1|+\cdots+|X_n|\big)\to\mathbb{E}\big(|X_1|\big)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\quad?$$ Après ça il est clair que $$\Pr\Big(\frac{1}{n}\big(|X_1|+\cdots+|X_n|\big)<n\Big) \to 1.$$