Hiérarchie des ordinaux ?

Homo Topi

Je me familiarise un peu plus avec les ordinaux, auparavant je trouvais ça hyper compliqué mais je crois que ça commence à aller. Je vais probablement écrire des choses relativement informelles ou un peu barbares, ne me sautez pas à la gorge :-D. J'ai un paquet de questions, alors je numérote pour qu'on s'y retrouve.

Les ordinaux les plus simples que je connaisse sont les entiers naturels construits "à la von Neumann" : $0 = \varnothing$, $1 = \{0\}$, $2 = \{0,1\}$ etc. Ceux-là partent de $\varnothing$ et se construisent un à un en posant $n + 1 = n \cup \{n\}$. Très bien. Ceux-là sont parfaitement hiérarchisés : un ordinal entier naturel contient tous ses prédécesseurs, c'est comme ça qu'on définit l'ordre $\leqslant$ usuel sur $\N$. Donc jusque-là, je comprends.

L'axiome de l'infini permet justement de qualifier $\N$ comme un ordinal lui-même.

1) Pourquoi noter $\N$ autrement dans le contexte des ordinaux ? Je n'ai pas de problème à l'appeler $\omega$ mais je n'en comprends absolument pas l'intérêt puisque toutes les sources disent qu'ils sont égaux en tant qu'ensembles ? Si encore il fallait comprendre que $\omega$ désigne la classe (je n'ai pas réfléchi si c'est un ensemble ou une classe propre, alors je prends mes précautions) des ensembles dénombrables, là je comprendrais l'intérêt, mais si $\omega$ c'est $\N$ je ne vois pas.

2) Si j'essaie de hiérarchiser les ordinaux, alors $\N$ est évidemment "plus grand" que les entiers naturels. J'essaie d'avoir une compréhension un peu plus précise de ça. Est-ce que $\N$ est "le" ordinal suivant, ou existe-t-il d'autres ordinaux compris "entre" les entiers naturels et $\N$ ? L'intuition me donne envie de croire que non, mais on n'est jamais trop prudent.

Bon. A ce stade, j'ai une liste infinie d'ordinaux (celle des entiers naturels) et un ordinal ($\N$, $\omega$) strictement plus grand. Alors je peux fabriquer encore $\omega + 1$, $\omega +2$ etc et me retrouver avec une deuxième liste infinie d'ordinaux construite sur le même principe que les $n+1 = n \cup \{n\}$ de tout à l'heure.

3) Quel est alors l'ordinal "suivant", s'il en existe un seul ? Comment s'écrit-il et comment faut-il le comprendre ? Je vois des $\omega \cdot 2$, des $\omega^2$ et des $\omega^{\omega}$ dans la spirale sur Wikipédia, j'ai du mal à cerner exactement ce que c'est. J'ai envie de comprendre $\omega \cdot 2$ comme une sorte d'analogue de $\N$ : là où $\N$ est l'ensemble qui contient $\varnothing$, $\{\varnothing\}$, etc, $\omega \cdot 2$ serait celui qui contient $\N$, $\{\N\}$ etc. Je n'ai pas l'impression que $\omega \cdot 2$ a besoin de contenir les entiers naturels, je me trompe ? Répondez déjà à cette question, et quand j'aurai une meilleure compréhension de $\omega \cdot 2$, j'essaierai de comprendre $\omega^2$ etc, c'est mieux comme ça (faisons les choses dans l'ordre).

Jusque-là, j'ai l'impression de ne rien avoir touché qui sorte du dénombrable. Alors $\omega_1$, ça sera pour une fois suivante, j'ai déjà posé assez de questions pour le moment. C'est principalement pour lui que je m'intéresse aux ordinaux, pour raffiner ma compréhension de que la "longue droite" est censée être. J'en ai une idée que j'estime un peu vague, alors on va construire ça progressivement.

Médiat

1) $\mathbb N$ est réservé au modèle standard de AP.
2) $\omega$ est le plus petit ordinal limite (qui n'est pas successeur) donc tous les prédecesseurs sont successeurs (sauf 0)
3) le suivant de $\omega$ est $\omega +1$ ($0, 1, 2, ...\omega$), il est différent de $\omega$ (possède un plus grand élément), alors que $1 + \omega = \omega$

Homo Topi

1) AP, c'est quoi ? :-S

2) Si $\omega$ est $\N$ en tant qu'ensemble, j'imagine que "$\omega$ est le plus petit ordinal limite" est un théorème, qu'il va falloir démontrer. Je vais avoir du travail.

3) Ce n'était pas exactement ma question, je crois... partant de $\omega$, on peut construire $\omega+1 = \omega \cup \{\omega\}$, puis $\omega +2 = (\omega + 1) +1$ etc. Je demande quel est le premier ordinal qui arrive après tous les $\omega + n$. Je pense que c'est celui qui est noté $\omega \cdot 2$ mais je ne suis pas sûr de qui c'est comme ensemble.

Médiat

1) AP = arithmétique de Peano
2) c'est la définition de $\omega$, le théorème à démontrer est que $\omega$ est un modèle de AP
3) Le plus simple est de l'écrire $\omega +\omega$ (qui est bien $\omega .2$),

Médiat

Une façon simple de voir le bon ordre $\omega + \omega$ est de munir $\mathbb N$ de la relation $\prec$ définie par :
Les nombres impairs sont dans le même ordre (entre eux) que l'ordre naturel
Les nombres pairs sont dans le même ordre (entre eux) que l'ordre naturel
Tous des nombres pairs sont plus grands que tous les impairs (1, 3, 5, .....0, 2, 4 ,...)

Manda

Les éléments d'un ordinal sont exactement les ordinaux qui lui sont strictement inférieurs. Ca répond directement à 2) et à 3)

Poirot

$\omega \cdot 2 = \omega + \omega$ est la borne supérieure des $\omega + n$, formellement, $$\omega + \omega = \bigcup_{n < \omega} \omega + n = \omega \cup \bigcup_{n < \omega} \{\omega + n\}.$$

Ce n'est pas tant "à quoi il ressemble en tant qu'ensemble" qui est important, mais plutôt sa structure d'ensemble bien ordonné. C'est là que les diagrammes de Wikipedia aident à visualiser les choses.

Poirot

Au passage, la classe des ensembles dénombrables est une classe propre, ce n'est pas un ensemble, et ça ne risque certainement pas d'être $\omega$, qu'on peut voir comme l'ensemble (c'est grâce à l'axiome de l'infini qu'on peut dire ça!) des ordinaux finis. De même, la classe des ensembles finis est une classe propre, c'est assez facile à voir.

Homo Topi

Je ne connais pas encore bien la théorie des modèles, on m'a déjà expliqué très brièvement 2-3 choses mais je n'ai pas compris comment ça marche. A mon sens, l'ensemble des entiers naturels est défini dans ZFC (enfin, même dans ZF) et les axiomes de Peano sont des théorèmes de ZF(C), je ne sais pas si ça a un rapport. Comme dit, les modèles, ça me rend encore confus. J'ai l'impression qu'il faut démontrer que l'ensemble qui vérifie les "axiomes" de Peano (théorèmes de ZFC) est unique, $\N$ est cet ensemble par définition, et après il faut démontrer que $\omega$ vérifie la même définition, d'où $\omega = \N$ en tant qu'ensembles. Ou quelque chose comme ça. C'est compliqué...

Qu'on l'écrive $\omega + \omega$ ou $\omega \cdot 2$, je ne comprends pas exactement qui sont ses éléments... ce sont les entiers naturels, mais ordonnés différemment ? J'ai l'impression que ça ne peut pas être ça, je suis confus avec ce que tu as écrit $(1,3,5,...,0,2,4...)$.

Poirot

Ne te prends pas trop la tête avec ces questions de théorie des modèles, de modèles non standards, etc. Pour l'instant concentre-toi sur les ordinaux et dis-toi juste que $\omega$ est la notation standard pour différencier la structure d'ensemble ordonné de la structure avec les opérations usuelles.

As-tu vu ma réponse ci-dessus pour les éléments de $\omega + \omega$ ?

Homo Topi

Oui, j'ai vu, mais les réponses vont très vite ici et j'ai du mal à répondre à tout le monde en temps réel.

Bon alors. Un peu informel mais je fais exprès :

$\omega$ c'est $\N$, c'est $\{0,1,2,...\}$

$\omega + 1$ c'est $\{0,1,2,...,\omega\}$. $\omega+2$ c'est $\{0,1,2,...,\omega, \omega+1\}$. Etc.

Donc $\omega \cdot 2$, ou $\omega + \omega$, c'est $\{0,1,2,...,\omega, \omega+1, \omega + 2,...\}$

Et $\omega \cdot 3$, c'est $\{0,1,2,...,\omega, \omega+1, \omega + 2,..., \omega \cdot 2, \omega \cdot 2 + 1, \omega \cdot 2 + 2,... \}$

Je pense que je commence à comprendre quelque chose.

Poirot

C'est ça (tu)

Médiat

J'ai bien écrit "voir le bon ordre $\omega + \omega $" et non voir $\omega + \omega $, qui lui est constitué de
$0, 1, 2, ..\omega, \omega+1, \omega+2 ...$

Il est facile de trouver une bijection croissante entre ma proposition et $\omega + \omega$

Homo Topi

Médiat : j'ai bien précisé que j'ai encore du mal avec les choses concernant les ordinaux. Je confonds encore des choses, j'essaie de comprendre rien que les notations et j'ai déjà eu du mal avec ça. Peut-être que tu as un peu surestimé ce que je me sens capable de comprendre sans être pris par la main :-D

Bon. Maintenant je vais respirer une minute avant d'essayer de comprendre $\omega^2$, $\omega^n$ et $\omega^{\omega}$. On va y arriver tout doucement.

Homo Topi

Je pense que $\omega^2$, vu que c'est censé être $\omega \cdot \omega$, ça doit être "la limite" (le sup, la réunion) des $\omega \cdot n$.

Après, comment ça continue...

$\omega^2 + 1$ et les $\omega^2 + n$, ça je comprends. On aboutit à $\omega^2 + \omega$. Hm... et là, ça continue comment ?

Poirot

Oui c'est ça pour $\omega^2$.

Ben après tu as par exemple $\omega^2 + \omega \cdot 7 + 52$, puis (après quelques étapes) $\omega^2 + \omega \cdot n$ pour tout $n$, dont la borne supérieure est $\omega^2 \cdot 2$, etc. La borne supérieure des $\omega^2 \cdot n$ s'appelle $\omega^3$, tu vois la suite ?

Homo Topi

Donc effectivement on va avoir des "polynômes en $\omega$" dans la hiérarchie. Je n'étais pas trop sûr de ça, si ça allait se simplifier ou non. Mais je commence à comprendre, oui, je crois.

Poirot

Tu devrais continuer pendant quelques étapes puisqu'il finit par se passer des choses intéressantes. ;-)

Homo Topi

Si c'est des $\omega$ puissance $\omega$ puissance $\omega$ puissance $\omega$ dont tu me parles, j'avais vu ça écrit quelque part. Je vais faire une pause avec ça pour aujourd'hui, je suis déjà content de ce que j'ai réussi à comprendre jusque-là.

Médiat

on va avoir des "polynômes en $\omega$"

Voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_ordinal#Forme_normale_de_Cantor

Homo Topi

Je reviens rapidement ici pour la suite de mes questions.

Pour en avoir fait quelques exemples ci-dessus, j'ai l'impression qu'aucun des ensembles que j'ai décrits et qui utilisent $\omega$, y compris ceux de la forme $\omega^{\omega^{\text{etc}}}$, ne sort du cadre dénombrable.

Je veux maintenant sortir du dénombrable. Par définition, le premier (donc le plus petit) ordinal non dénombrable est noté $\omega_1$.

Le premier truc "strictement plus grand" que le dénombrable que je connais, c'est le cardinal de $\R$. Visiblement, dire que le cardinal de $\omega_1$ est celui de $\R$, c'est supposer que l'hypothèse du continu est vraie.

Je ne me suis pas encore encombré avec les alephs dans ce fil, mais j'ai fait exprès. Je finis par m'embrouiller à essayer de manipuler trop de nouveaux symboles en même temps.

En tout cas, j'ai $\omega_1$. Je devrais avoir le droit de faire toutes les constructions que j'ai faites avec $\omega$ avec $\omega_1$.

Première question : peut-on définir "par une formule" $\omega_1$ en fonction de $\omega$ ? Si oui, laquelle ? Limite, sup, ce genre de choses.

Deuxième question : existe-t-il d'autres $\omega_n$ bien définis ?

Poirot

1) Plusieurs choses sont possibles. On a $\omega_1 = \bigcup \{\alpha \in \mathrm{Ord} \mid \alpha \simeq \omega\}$, où $\mathrm{Ord}$ désigne la classe des ordinaux, et $\simeq$ désigne la relation d'équipotence (être en bijection avec). On peut aussi dire que $\omega_1$ est l'ordinal correspondant au bon ordre de l'ensemble des bons ordres sur $\omega$ (flemme d'en faire une formule :-D ).

2) Oui. $\omega_2$ ($=\aleph_2$) est le plus petit ordinal qui n'est pas en bijection avec $\omega_1$ ($= \aleph_1$), etc.

Homo Topi

J'imagine que si $\omega_1$ est le cardinal de $\R$, on peut commencer à faire des $\mathscr{P}(\R)$, $\mathscr{P}\big(\mathscr{P}(\R) \big)$, etc. pour "modéliser" les $\omega_n$ suivants ? Toujours en admettant HC, of course.

Poirot

Non, $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$ n'implique pas que $\aleph_{\alpha+1} = 2^{\aleph_{\alpha}}$ pour tout ordinal, ça s'appelle l'hypothèse du continu généralisée.

Martial

@Homo Topi :
Première question : rien de plus simple. $\omega_1$ est le plus petit ordinal $> \omega$ qui ne peut pas être mis en bijection avec $\omega$.

Deuxième question : je te laisse le soin de compléter.

Pour $\omega_{\omega}$ tu as effectivement besoin du sup.

Attention : même pour la 1ère question tu as besoin du schéma de remplacement pour affirmer qu'il y a au moins un ordinal $> \omega$ qui n'est pas équipotent à $\omega$.

Martial

@Homo Topi : il faut que tu arrêtes de raisonner comme si HGC était vraie. J'ai vu quelque part, probablement dans un autre fil, quelqu'un qui disait que l'ensemble des machins qui vérifient bidule a pour cardinalité $\aleph_2$. Il fallait dire $\beth_2$, i.e. $2^{2^{\aleph_0}}$.

Martial

@Homo Topi : il est à peu près clair que l'ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ a pour cardinalité $2^{2^{\aleph_0}}$.

Petit exercice : explique-nous pourquoi l'ensemble des fonctions CONTINUES de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ a pour cardinalité $2^{\aleph_0}$.

Médiat

Indice : $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}$

Poirot

Je te donne une explication "heuristique" de mon dernier message. Si c'est ta première rencontre avec ce genre de raisonnements, il faut s'accrocher un peu, mais je pense que ça devrait t'être instructif.

Tu sembles savoir que $\mathsf{HC}$ n'est "ni vraie ni fausse", au sens que ni elle ni sa négation ne sont conséquences des axiomes de $\mathsf{ZFC}$ (en supposant que ceux-ci sont non contradictoires, chose qu'on ne pourra jamais démontrer (sauf si ceux-ci sont contradictoires ! (:P) )). Ça veut dire que (toujours en supposant $\mathsf{ZFC}$ non contradictoire, ce que je ferai sans plus de précision dans la suite) il existe des modèles de $\mathsf{ZFC}$ (des "univers de la théorie des ensembles" si tu veux, qui vérifient ces axiomes) où on a $2^{\aleph_0} = \aleph_1$, et d'autres où on a $2^{\aleph_0} > \aleph_1$.

Comment montrer ce résultat ? Gödel a montré l'existence d'un modèle (appelé univers constructible) dans lequel $\mathsf{HC}$ est vraie (en fait l'hypothèse généralisée du continu y est vraie). Ça montre que l'on ne peut pas prouver la négation de $\mathsf{HC}$ à partir des axiomes de $\mathsf{ZFC}$. Une trentaine d'années plus tard, Cohen a montré l'existence d'un modèle de $\mathsf{ZFC}$ dans lequel $\mathsf{HC}$ est fausse. Ça montre que l'on ne peut pas prouver $\mathsf{HC}$ à partir des axiomes de $\mathsf{ZFC}$.

Sa démonstration est plus compliquée, et utilise une méthode révolutionnaire qu'il a inventé qui s'appelle le forcing. Avec le forcing, Cohen "ajoute" $\aleph_2$ nombres réels à son nouveau modèle, de sorte que dans celui-ci on a $2^{\aleph_0} \geq \aleph_2$ (en fait on peut se débrouiller pour avoir l'égalité mais passons).

Maintenant, partons d'un modèle de $\mathsf{ZFC} + \mathsf{HC}$ (par exemple l'univers constructible de Gödel), et avec la méthode de forcing, ajoutons $\aleph_3$ éléments à $2^{\aleph_1}$ sans ajouter de réels(*). Dans le nouveau modèle on a toujours $2^{\aleph_0} = \aleph_1$, mais on a $2^{\aleph_1} \geq \aleph_3 > \aleph_2$, contredisant l'hypothèse généralisée du continu. Ainsi $\mathsf{HC}$ n'implique pas $\mathsf{HGC}$.

(*) Je dis ça comme si c'était un petit raisonnement gratuit, mais les détails techniques sont assez ardus, on ne peut pas non plus forcer n'importe quoi. Par exemple on ne peut pas forcer $2^{\aleph_0} = \aleph_{\omega}$.

Homo Topi

Martial : quand je disais "une formule", j'attendais une formule ensembliste qui définit $\omega_1$ à partir de $\omega$, comme celle que Poirot a donnée. La définition que tu as donnée ne donne rien de plus que, ben, la définition de $\omega_1$. La définition, je la connais, la question était de voir si l'on peut écrire une équation ensembliste entre $\omega$ et $\omega_1$.

Ensuite, sache que je n'ai jamais eu de cours sur la théorie des ensembles pendant mes études. J'apprends au compte-gouttes, en me posant des questions. Mes connaissances dans tout ce qui dépasse "ce qu'il faut connaitre en théorie des ensembles pour passer l'agreg" sont forcément lacunaires. Je connais l'hypothèse du continu, j'ai simplement supposé qu'on pouvait "continuer" le schéma de HC directement (autrement dit, je pensais que HGC était une conséquence directe de HC). Je ne raisonne pas exprès comme si HGC était vraie, donc ce n'est pas la peine de me dire sèchement d'arrêter de le faire. Je fais ce que je peux avec les connaissances que j'ai, et parfois on se trompe.

Je n'ai absolument pas les connaissances requises pour faire ton exercice.

Poirot : j'ai lu et je pense avoir compris l'essentiel, mais j'ai encore et toujours un immense problème à comprendre ce qu'est un modèle de quoi que ce soit.

Poirot

Un modèle $M$ d’une famille de formules (on parle d’une théorie) $T$ c’est un ensemble tel que pour toute formule $\varphi \in T$, $\varphi$ (correctement interprétée dans $M$) est vraie dans $M$. Tout ça se passe dans un certain langage, par exemple la théorie des groupes s’exprime dans le langage de... la théorie des groupes :-D Ça veut simplement dire qu’il y a certains symboles à interpréter (en l’occurrence un symbole pour le neutre, un symbole pour l’opération, et un symbole pour la fonction inverse). Pour $\mathsf{ZFC}$ le seul symbole (hormis l’égalité, mais c’est dans tout langage un tant soit peu sensé) est le symbole d’appartenance.

Si $T=\mathsf{ZFC}$, un modèle de $T$ c’est un couple $\mathcal M = (M, E)$ tel que pour toute formule $\varphi$ de $\mathsf{ZFC}$ (il y en a un nombre fini), la formule $\varphi^{\mathcal M}$, qui correspond à $\varphi$ où j’ai remplacé le symbole $\in$ par E et toutes les quantifications se font dans $M$, est vraie.

Tu peux voir ça comme un « univers ensembliste », et on n’a aucune raison de penser que l’on « vit » dans un modèle plutôt qu’un autre à partir du moment où on dit juste que l’on « travaille dans $\mathsf{ZFC}$ ». Le fait non trivial dont il est question ici c’est que (si $\mathsf{ZFC}$ n’est pas contradictoire), il existe des modèles où $\mathsf{HC}$ est vraie, et d’autres où elle est fausse, et dans mon dernier message j’ai essayé de t’expliquer comment on montre ce genre de choses.

Homo Topi

J'ai une question subsidiaire sur les modèles (hors-sujet pour le fil, mais on s'en fiche).

Je ne sais pas trop comment formuler la question. Etant donné un énoncé indécidable dans ZFC, on peut imaginer plein de situations possibles (avec HC, on peut remplacer $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ par une inégalité stricte, par exemple), donc on peut essayer de construire un ensemble (donc un modèle) de ZFC+[une version de l'énoncé indécidable]. Est-ce que la théorie des modèles sert essentiellement à ça ?

Médiat

Je n'ai absolument pas les connaissances requises pour faire ton exercice.

Cet exercice ne nécessyte aucune connaissance de théorie des ensembles (à part l'indice que j'ai donné)

Médiat

Soit $\mathcal T$ une théorie consistante, et $\varphi$ une formule indécidable dans $\mathcal T$

Alors $\mathcal T \bigcup \{\varphi\}$ est consistant, donc possède des modèles
Et $\mathcal T \bigcup \{\neg \varphi\}$ est consistant, donc possède des modèles

Poirot

@HT : La théorie des modèles sert déjà à faire le lien entre le syntaxique (ce qui se passe au niveau des formules, les démonstrations en font partie) et le sémantique (ce qu'il se passe quand on veut donner du sens aux formules, c'est là que "vivent" les modèles des théories). Le théorème de complétude de Gödel dit essentiellement que les deux points de vue sont équivalents, et notamment qu'une théorie admet un modèle si et seulement si elle est non contradictoire.

Le fait de construire des modèles de $\mathsf{ZF}$ ou $\mathsf{ZFC}$ vérifiant telle ou telle propriété, c'est plutôt le boulot de la théorie des ensembles, la théorie des modèles est la plupart du temps un simple prérequis.

Martial

@Homo Topi : je voulais juste attirer son attention sur le fait qu'on a tendance à supposer implicitement HGC. Moi aussi quand j'étais jeune j'avais tendance à appeler $\aleph_2$ le cardinal de $\mathscr P(\mathbb{R})$.

Par ailleurs, contrairement à ce que tu penses tu as tout à fait les connaissances requises pour faire l'exercice. Tu sais que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ ? Bon. Maintenant pose-toi la question suivante : que faut-il savoir pour connaître parfaitement une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ ?

Homo Topi

Je n'ai pas encore compris pourquoi l'ensemble des fonctions $\R \longrightarrow \R$ a pour cardinal $2^{2^{\aleph_0}}$. J'ai besoin d'y réfléchir.

Médiat

Vous savez sans doute que le cardinal de l'ensemble des fonctions de $E$ dans $F$ est (en notant $|X|$ le cardinal de $X$) $|F|^{|E|}$, avec un peu d'arithmétiqie des cardinaux on obtient :

$(2^{\aleph_0})^{2^{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0\cdot2^{\aleph_0}}= 2^{2^{\aleph_0}}$

Homo Topi

Il va falloir que je retravaille mon arithmétique cardinale un peu plus en détail, on dirait. Dans mon livre, il n'y a que des résultats très basiques, et ils n'utilisent pas les ordinaux, il n'y a pas de $\omega$, ni de $\aleph$ ni de $\beth$. Je pense commencer par un peu de Wikipédia, je ne sais plus si le Dehornoy en parle (je pense que oui, quand même), mais mes bouquins sont tout en bas de ma pile de cartons qu'on n'a pas encore déballés depuis le déménagement. On tarde à s'y mettre...

Poirot

Le Dehornoy aborde bien sûr l'arithmétique cardinale. Ici les trois résultats utilisés sont :

- Si $\kappa$ et $\lambda$ sont des cardinaux, le cardinal de l'ensemble des applications de $\lambda$ dans $\kappa$ est $\kappa^{\lambda}$.
- Si $\kappa, \lambda$ et $\mu$ sont des cardinaux alors $(\kappa^{\lambda})^{\mu} = \kappa^{\lambda \times \mu}$.
- Si $\lambda$ et $\mu$ sont des cardinaux dont l'un au moins est infini, alors $\lambda \times \mu = \max(\lambda, \mu)$.

Thierry Poma

@Poirot : bonsoir. Tu écris : le cardinal de l'ensemble des applications de $\kappa$ dans $\lambda$ est $\kappa^{\lambda}$. En es-tu certain ?

Homo Topi

Je ne prétends pas répondre à la place de Poirot, mais j'ai trouvé ceci

Inutile, je n'avais pas vu où était l'étourderie de Poirot.

Poirot

C'est une étourderie, je corrige.