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Égalité presque partout

Salut

Soit $\Omega$ un domaine borné avec un frontière lipchitzienne $\Gamma=\Gamma_{1} \cup \Gamma_{2}$.
$$V=\{u\in \big(H^1(\Omega)\big)^d \mid u=0 \text{ dans }\Gamma_{1} \}.
$$ Est-ce que cette implication est vraie ?
$$ \forall v\in V,\ \langle u,v\rangle_{V}=0\ \implies\ u=0\ p.p $$

Réponses

  • Qu'est-ce que $<\cdot,\cdot>_V$ ? un produit scalaire ?
  • Oui..c'est un produit scalaire.
  • La réponse est presque tautologique si tu sais que $\langle \cdot, \cdot \rangle_V$ est un produit scalaire sur $V$. J'imagine qu'il s'agit de la restriction du produit scalaire de $H^1(\Omega)^d$ à $V$.
  • En gros, s'il s'agit de savoir si les fonctions qui s'annulent sur la frontière sont denses dans $H^1 $, il me semble que c'est faux, déjà si $\Omega $ est un intervalle de $\mathbb R $. Après, pour $d$ plus grand, il faut voir, mais c'est probablement faux aussi.
  • Bonjour
    Je suis bien d'accord avec @Poirot.

    Si $<u,v>_V=0$ pour tout $v\in V$ alors $<u,u>_V=0.$

    C'est-à-dire $u=0$ dans $V$ ... on a bien $u=0$ p.p.
  • $u$ est-il lui-même dans $V$ ? Le produit scalaire n'est-il qu'un produit scalaire sur $V$ ?
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