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Exercice 507

Réponses

  • Bonsoir,

    J'ai placé un point $E$ tel que $AEC$ soit équilatéral. À l'aide d'une chasse aux angles (théorème de l'angle inscrit, triangles isocèles, équilatéraux) on montre que $BDE$ est lui aussi équilatéral. Et la droite $(BC)$, qui est la bissectrice de $\widehat{DCE}$ est aussi celle de $\widehat{DBE}$.126318
  • Bonsoir Ludwig et merci pour ta contribution.
  • Je détaille : comme $AB=AE$ et $\widehat{BAD}=\widehat{DAE}=\alpha$, les triangles $ABD$ et $DAE$ sont égaux, de sorte que $BD =DE$.
    L'angle au centre $\widehat{DCE}$ vaut le double de l'angle inscrit $\widehat{DAE}$, c'est-à-dire $2\alpha$. Les triangles $BAE$ et $CDE$ sont donc égaux car $BA=AE=CD=CE$ et $\widehat{BAE}=\widehat{DCE}=2\alpha$, ce qui implique que $BE=DE$. Nous avons donc montré que le triangle $BDE$ est équilatéral. Les points $B$ et $C$ étant équidistants de $D$ et $E$, la droite $(BC)$ est la médiatrice du segment $[DE]$. C'est aussi la bissectrice de $\widehat{DBE}$ car $BDE$ est équilatéral. Donc $\widehat{DBC}=\frac{60°}{2}=30°$.
  • Bonjour, il y a une façon trigonométrique qui donne une identité un peu originale (à prouver).

    $ABC$ est un triangle isocèle en $A$, dans la figure les côtés égaux sont de longueur $1$, j'ai renommé l'angle $a$ par $x$.
    On a $BC=2\sin(\frac{\pi}{6}+x)$.
    Dans $BDC$, $BD^2=4\sin^2(\frac{\pi}{6}+x)+1-4\sin(\frac{\pi}{6}+x)\cos(x)$; une égalité des aires donne $$\sin^2(\widehat{DBC})\times BD^2\times BC^2=BC^2\times \sin^2(x).
    $$ Et ainsi $$\sin^2(\widehat{DBC})=\dfrac{\sin^2(x)}{4\sin^2(\frac{\pi}{6}+x)+1-4\sin(\frac{\pi}{6}+x)\cos(x)}=\frac14.

    $$ Cordialement.
  • Bonjour Bouzar
    D'où provient cet exercice?
    Amicalement. Poulbot
  • Bonjour poulbot

    Cet exercice provient d'une liste de Abdilkadir Altintas.

    Amicalement
  • Merci beaucoup, Bouzar
    Est-il possible de trouver cette liste sur le Net (de préférence pas en turc)?
    Amicalement Poulbot
  • J'ai trouvé une partie de ces Geometri Günlügü : les problèmes 501 à 625.
    Mais en turc... heureusement il y a peu de texte.
  • Merci Ludwig,
    Je trouve ces problèmes très intéressants !
    Bien cordialement
    JLB
  • C'est très bien de donner des énoncés dans toutes les langues du monde.
    Avec les moyens modernes, on peut traduire le texte.
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