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Calcul intégral

Bonjour tout le monde et merci d’avance pour ce qui vont le lire.
Ça fait quelques heures que j’essaie de faire un calcul intégral qui est :
$$\int_{0}^{1}{\ln(1+\sqrt{x^2 +1})dx}

$$ Par une intégration par partie j’ai trouvé :
$\ln(1+\sqrt{2}) - \int_{0}^{1}{x^2/(x^2 +1 + \sqrt{x^2 +1})dx}.$
À partir de là j’ai essayé beaucoup de choses (changement de variable avec $u = \sqrt{x^2 +1}$, ou encore $u = x^2 $) enfin en somme je sens que je ne suis pas loin, c’est peut-être une illusion de croire ça possible, mais $argsinh(x)$ a pour dérivée $1/\sqrt{x^2 +1}$, j’ai même posé $t= argsinh(x)$, je voulais prendre ça comme nouveau point de départ, mais je reste quand même bloqué si je fais une autre intégration par partie !
Merci d’avoir lu le message malgré la mauvaise qualité d’expression et merci pour tout indices que vous pouvez donner !

Réponses

  • $x\longmapsto \ln(1+\sqrt{1+x^{2}})$ est une primitive de $x\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$.
    Edit il faut mettre un $x$ à la place du $1$ dans le logarithme : $\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$.

    Une IPP marche très bien avec $u'=1$ et $v=\ln(1+\sqrt{1+x^{2}})$.
  • Ça aurait été trop beau si c’était ln(x+sqrt(x^2 +1))
  • Hamidou, mets un dollar $ en balise pour que ça soit plus facilement lisible :-) encore mieux tu fais dollar \displaystyle blabbla puis dollar ou sinon tu fais "dollar dollar" en balise (au début et à la fin) pour sauter une ligne :)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Merci beaucoup quentino
  • :-) Et sinon tu n'es pas obligé de mettre des parenthèses :-)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Pour la primitive, tu fais l'IPP que tu as faite : $\displaystyle{\int{\ln(1+\sqrt{1+x^{2}})}=x\ln(1+\sqrt{1+x^{2}})-\int{\dfrac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}\left(1+\sqrt{1+x^{2}}\right)}dx}}$.

    Tu peux remarquer que $x\longmapsto\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$ est la dérivée de $x\longmapsto Argsh(x)$. Il faut faire un certain changement de variable dans la deuxième intégrale. En l’occurrence ton $t=Argsh(x)$ était une bonne idée et cela donne $x=\sinh(t)$ et là le résultat devrait tomber tout seul.
  • Salut,

    après quand on a du $\sqrt{x^2+1}$, on peut toujours tenter un $x=sh(t)$ -;)

    A+

    F.
  • Bonjour
    le changement de variable x = \sinh(t) donc $dx = \cosh tdt$ donne une intégrale I :
    $$I= \int_0^{\ln(1+\sqrt{2})}\cosh t\ln(1+\cosh t).dt
    $$ on intègre par parties avec $u = \ln(1+\cosh t)$ et donc $du = \sinh t/(1+\cosh t)dt$
    $dv = \cosh t dt$ donc $v = \sinh t$ et l'intégrale $I$ devient l'expression $\sinh t\ln(1+\cosh t)$ à calculer entre $0$ et $\ln(1+\sqrt{2})$ moins $\int_0^{\ln(1+\sqrt{2})}\frac{\sinh^2t}{1+\cosh t}dt$.
    Soit encore l'expression $\sinh t\ln(1+\cosh t) - \sinh t + t$ à calculer entre $0$ et $\ln(1+\sqrt{2})$.
    soit finalement $$2\ln(1+\sqrt{2}) - 1$$ égal à $0,762747174\ldots$
    Ce que confirme le calcul direct de l'intégrale sur la calculatrice.
    Cordialement.
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