Séries et le nombre e

etanche

Bonjour
Montrer que
$$
\sum_{n=0}^{\infty}n!\Big(e-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\Big)^2 = e\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n.n!}.

$$ Merci.

Chaurien

Le $\Sigma$ de droite ne peut partir de $0$.

etanche

@Chaurien c’est rectifié, merci

bisam

1) Dans le membre de gauche, écrire le reste au carré comme reste intégral avec la formule de Taylor appliquée à l'exponentielle.
2) Remplacer ce produit d'intégrale par une intégrale double sur le carré $[0,1]^2$ et intervertir avec la somme (puisque tout est positif).
3) Remplacer la série obtenue par sa valeur qui est une exponentielle, et simplifier.
4) Factoriser par $e$ et remplacer enfin l'exponentielle restante par son développement en série entière et intégrer deux fois terme à terme.

Dom

J’ai vu cet exercice sans pouvoir me remonter les manches.
J’avais tout de suite eu l’idée d’un produit de Cauchy à bidouiller pour remplacer le carré.
Mais je ne sais pas si cela fonctionne.

[Utilisateur supprimé]

Merci pour la réponse bisam !
L'expression de droite doit d'ailleurs permettre, a posteriori, de trouver une valeur approchée de l'intégrale (quelque chose comme $\iint_{[0,1]^{2}}e^{2-u-v+uv}dudv$) assez bonne: wolfram me donne environ 3.58243 (mais je ne sais pas s'il développe la série, accède à des abaques, ...), et le dixième terme des sommes partielles vaut la même chose, à précision de math.e près (python). Bref !

Dom, si tu as un jour la motivation, dis nous si ça marche, j'avais essayé vaguement, mais sans grand succès. J'avais même essayé de ne développer qu'une seule intégrale (je ne sais pas si ça se fait souvent), ce qui faisait apparaître une intégrale de la série génératrice des restes de la série exponentielle $\int_{0}^{1}(\sum_{n=0}^{+ \infty}R_{n}u^{n})e^{-u}du$ ...

PS: je suis contant, pour une fois j'étais allé jusqu'à la moitié de ton point 3, puis j'ai cru que je faisais mauvaise route et me suis perdu dans les méandres de Cauchy (il faut savoir persévérer (:D )

Chaurien

D'où nous vient ce bel énoncé ?

etanche

@Chaurien un ami de Roumanie me l’a envoyé.

Si vous avez une preuve sans utiliser les intégrales doubles ce serait pratique, car en prépas il n’y a plus les intégrales doubles.

Chaurien

etanche, il y a une vie mathématique après la prépa, et dans cette vie, les intégrales multiples existent. Si l'on n'a pas de solution sans intégrale double, eh bien, on ne posera pas cet exercice en prépa, voilà tout. Ça n'empêche pas de le résoudre.
Le nombre de notions qui ont été supprimées du programme de prépa est ahurissant. Comparer par exemple avec les Ramis-Deschamps-Odoux. En échange les programmes s'augmentent de développements « didactiques » boursouflés, prétentieux, filandreux, oiseux et creux : du caca de didacticien. Quelle époque !
Pour cet exercice, je n'ai pas eu d'idée. Il m'a fait penser à un autre qui concernait aussi une série de carrés de restes de série : $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\Big(\ln 2-\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\Big)^2=~?$, vu il y a quelques années dans The College Mathematics Journal, petit frère de l'AMM. Celui-ci est plus simple.
Bonne journée.
Fr. Ch.

bisam

En fait, il n'est pas nécessaire de parler d'intégrale double : on peut faire mon raisonnement en faisant deux intégrales indépendantes tout le long.
On n'a pas besoin non plus d'invoquer le théorème (magique) d'interversion par positivité : on peut les justifier par convergence uniforme ou convergence dominée.

Je pense au contraire qu'il fera partie de ma liste d'exercices de révisions à la fin de cette année.

etanche

Merci pour vos retours

jandri

Je me suis intéressé à l'exercice proposé ci-dessus par Chaurien (je le remercie de l'avoir proposé).

A près l'avoir résolu j'ai examiné la variante $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\Big(\dfrac{\pi}4-\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\Big)^2$.

Ensuite j'ai cherché à généraliser et j'ai démontré que pour tout réel $a>0$ en posant $I_a=\displaystyle \int_0^1\dfrac1{1+t^a}dt$ et $u_n=I_a-\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k}{ak+1}$ on a :

$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}u_n=\dfrac{1/2-I_a}a$ et $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}u_n^2=\dfrac{I_a-I_a^2}a$.

La démonstration n'est pas plus longue dans le cas général que dans le cas $a=1$ puisqu'on n'a pas à calculer les intégrales ($I_a$ ne se calcule pas pour $a$ quelconque).