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Suite nulle

Bonjour à toutes et à tous,
J'espère que vous allez bien.
Je lisais un cours sur les suites et il est écrit (désolé mais je modifie un peu car ce serait assez long à écrire tel quel)
Définition 1.2 On définit les opérations $+$, $\times$, et $.$ sur les suites par :
[...]
2. Pour toutes suites $(u_n)$ et $(v_n)$, on définit la suite produit $(u_n) \times (v_n)$ par
$(u_n) \times (v_n) = (u_n \times v_n)$
[...]

Explications Les opérations sur les suites se font terme à terme.
(Symbole attention) On peut avoir $(u_n) \times (v_n) = 0$ alors qu'aucune des suites n'est nulle. La structure n'est pas intègre et on ne peut pas simplifier une égalité par une suite, même si elle est non nulle

Exemple Trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $(u_nv_n)$ soit la suite nulle, sans qu'aucune des deux ne le soit.

Solution :
Et oui, comme vous l'avez vu, il n'y a pas de solution !
J'aimerais donc savoir si ce que je fais est bon ou pas.

$u_n = 0,5 \times (-1)^n + 0,5$ et $v_n = 0,5 \times (-1)^{n+1} + 0,5$.

Nous avons, $\forall n \in \mathbb{N},\ u_nv_n = 0,25 \times (-1)^{2n+1} + 0,25 \times (-1)^n + 0,25 \times (-1)^{n+1} + 0,25$
$u_nv_n = - 0,25 +0,25 ((-1)^n + (-1)^{n+1}) + 0,25 = 0,25 ((1)(-1)^n + (-1)(-1)^n) = 0,25 (0)(-1)^n = 0$
Mon exemple tient-il la route ou me suis-je trompé ?

Merci d'avance,
Mohammed R.

Réponses

  • Bonjour,

    Je n’ose pas vérifier les calculs.
    Il suffit de prendre une suite nulle pour ses termes impairs et non nulle pour au moins l’un des termes pairs.
    Et l’autre suite nulle pour ses termes pairs et ce que l’on veut pour les autres termes (sauf un qui doit être non nul).

    Non ?

    Remarque : on n’est pas obligé de proposer une « formule » pour le terme général.
  • Dom :
    Normalement, la suite $(u_n)$ vaut $0$ pour toutes les valeurs impaires et $1$ pour les valeurs paires, et $(v_n)$ vaut $0$ pour les valeurs paires et $1$ pour les valeurs impaires.
    Normalement...
  • Dom, pourquoi " [n'est-on] pas obligé de proposer une formule pour le terme général" ?
  • Je dis cela car parfois des intervenants veulent trouver des contre-exemples, ont la bonne idée mais se heurtent à un problème qui est de vouloir proposer une formule/expression. Ils s’en sentent « obligés », parfois inconsciemment.

    C’est par contre un (autre) exercice, intéressant d’ailleurs, de trouver ces formules.
  • Une autre possibilité pour tes suites :
    La suite $u$ comme tu l’as décrite.
    Et $v=1-u$, par exemple.
  • Flemme de vérifier tes calculs, ils sont trop compliqués pour un truc aussi simple.

    Tout ce qu'il te faut c'est que $u_{2n} = 0$ et $v_{2n+1}=0$ pour tout $n$ (ou vice-versa évidemment, c'est symétrique), ça suffit. Les autres termes des deux suites, on s'en fiche.

    $u_n = n \mod 2$ et $v_n = n+1 \mod 2$ font l'affaire si tu as besoin d'une formule. La première c'est $(0,1,0,1,...)$ et la deuxième c'est $(1,0,1,0,...)$.
  • Bon, Homo Topi,

    J’ai failli dire la même chose mais j’ai corrigé : on ne se fiche pas des autres termes, car s’il sont aussi tous nuls, ça ne contredit pas l’assertion.
    Cela va de soi, mais écrivons-le tout de même ;-)
  • J'ai plutôt voulu dire qu'on peut les choisir comme on veut et on aura quand même toujours $uv=0$. Du coup, on peut effectivement les choisir tous non nuls pour répondre à la question.
  • Un exemple très élémentaire :
    $u_n$ vaut 1 pour n=0 et 0 ailleurs.
    $v_n$ vaut 1 pour n=1 et 0 ailleurs.

    Cordialement.
  • Merci à tous les intervenants ! Donc si j'ai bien compris, j'ai bon mais je me suis bien trop compliqué la tâche ? En fat, ce qui me fait peur, c'est de donner des caractéristiques d'un type de suites puis me trouver incapable de trouver une suite dont je peux donner le terme général pour tous les entiers. Je comprends vos propositions qui sont bien plus simples mais ai-je le droit de les donner comme réponses sans formule générale ? Je pensais que non mais vos messages semblent indiquer le contraire.
  • Tu peux (et même, tu dois) parfois écrire $u_n = \left\{\begin{array}{ll} \text{[...] si [...]} \\ \text{[...] sinon}\end{array} \right.$

    C'est comme avec des fonctions définies par morceaux.
  • Je reprends Homo Topi :
    Si on prend pour tout $n$, $u_{2n}=0$ et les $u_{2n+1}$ n’importe comment, ça permet de tomber sur la suite nulle et on ne veut surtout pas celle-là.
    C’est le ce sens que « on ne les prends n’importe comment ».
    Bon, mais je crois qu’on s’est compris.

    Mohammed R,
    Au lieu d’une formule tu peux dire explicitement, et même en français, comment sont les termes d’une suite.
    Bien entendu, quand on a une formule, ce n’est pas interdit de l’utiliser.

    Tout ce qui marche, … ça marche !
  • J'ai déjà re-précisé de quoi je parlais. Pas la peine de revenir sur un truc mal formulé après que j'aie réexpliqué ce que j'ai voulu dire.
  • Prends-le comme tu veux.
    J’ai trouvé que tu répondais à côté (c’est-à-dire en proposant une formulation qui n’exclut pas la suite nulle).

    Mais j’accepte que cela puisse venir de moi.
    D’accord pour clore la discussion quant à ce détail. Chassons les esprits chagrins.
  • Dom, d'accord merci !

    Homo Topi :
    Oui ! Cela me fait penser à ça, qui, même par récurrence, n'a pas de formule explicite (!) :
    $S_{n+1} = 3S_n + 1$ pour tous les entiers $n$ impairs.
    $S_{n+1} = \frac{S_n}{2}$ pour tous les entiers $n$ pairs.
    C'est la fameuse conjecture de Syracuse.

    EDIT (merci beaucoup Dom (tu)) :

    $S_{n+1} = 3S_n + 1$ pour tous les entiers $n$ tels que $S_n$ est impaire.
    $S_{n+1} = \frac{S_n}{2}$ pour tous les entiers $n$ tels que $S_n$ est paire.
  • @Mohammed R je te conseille d'éviter de parler de la conjecture de Syracuse au risque de finir dans Shtam... :-D

    PS. déjà là c'est un peu mal barré je dois dire.
  • En effet ce n’est pas la parité de $n$ mais celle de $S_n$ que l’on regarde.
  • Petite remarque pour Mohammed R : effectivement, pour un entier fixé, on ne connait pas de formule explicite pour sa suite de Syracuse. Cependant, on dispose de toute l'information quand même : les suites de Syracuse sont des suites récurrentes d'ordre $1$ de la forme $S_{n+1} = f(S_n)$ pour une fonction $f$ bien déterminée (elle agit différemment selon la parité de sa variable, mais peu importe, la fonction on la connait bien), tout ce qu'il nous faut pour la déterminer entièrement c'est le premier terme (l'entier de départ choisi).

    Je te conseille vivement de prendre tes précautions avec la conjecture de Syracuse sur ce forum. Dans la section "Shtam", autrement dit la zone où les maths n'ont pas de règles, tous les mois il y a un nouveau zozo qui vient raconter des âneries au sujet de la conjecture. Comme dirait Chaurien, c'est un marronnier du forum.
  • Dom : Oui effectivement je me suis trompé, j'ai recopié trop vite ce qui était écrit sur Wikipédia en ne prenant même pas la peine de me relire (td)
    Homo Topi : merci pour tes informations !
    raoul.S, Homo Topi :
    Merci de l'avertissement ! La conjecture de Syracuse nécessite des outils hors de ma portée et ce serait faire preuve d'une stupidité sans nom que de m'y intéresser (à mon niveau en plus B-)-), et je ne l'ai citée en exemple que parce que ce qu'avait écrit Homo Topi m'y a fait penser, (en écrivant vraiment n'importe quoi en plus 8-) comme l'a fait remarquer Dom) et la section Shtam, c'est la seule que j'ai arrêté de lire (au vu de ce qu'on peut y lire) et dans laquelle je compte bien ne jamais écrire (au vu de l'opinion qu'ont les forumeurs de leurs collègues qui y postent), ça semble (presque) déshonorant pour certains. Je préfère me concentrer sur des choses à ma portée.

    Merci pour tout,
    Mohammed R.
  • Sans fausse modestie, je ne me sens pas « charlot », et j’y ai déjà ouvert au moins un fil.
    En fait, je ne voulais pas troubler des étudiants, par exemple.
    D’autres gens sérieux du forum ont aussi ouvert des fils.
    Mais c’est vrai que la plupart de l’actualité dans Shtam est tenue par des zozos qui ne font pas de maths, qui ne souhaitent pas en faire et j’ajouterais qui détestent les maths et les matheux.

    Sur Syracuse : je ne m’y suis jamais intéressé profondément.
    Pas d’inquiétude, je n’y aurais rien trouvé d’intéressant. Je lis les choses qui passent sur ce forum. Et c’est toujours dans Shtam, il me semble.
    Cependant, le problème étant très simple à comprendre, je ne crois pas que ce soit une bêtise de chercher des choses, de bricoler, de travailler, etc.
  • @Mohammed R il ne faut pas prendre mon message au sérieux, je te charriais.
    Mohammed R a écrit:
    Merci de l'avertissement ! La conjecture de Syracuse nécessite des outils hors de ma portée et ce serait faire preuve d'une stupidité sans nom que de m'y intéresser (à mon niveau en plus smoking smiley),

    Mais non, tu peux t'y intéresser sans problème. Moi par exemple je ne connaissais même pas cette conjecture avant de traîner sur le forum. C'est grâce à la rubrique Shtam et à quelques shtameurs que je l'ai découverte.

    Il ne faut pas avoir fait beaucoup d'études pour la comprendre, pour la résoudre par contre c'est une autre histoire.

    En ce qui concerne la rubrique Shtam, elle peut t'être utile. Lorsque tu arriveras à rigoler en la lisant, cela voudra dire que tu progresse en math.
  • C'est vrai pour Syracuse aussi : en essayant de comprendre pourquoi c'est compliqué alors que le problème a l'air simple, on apprend.
  • Merci à tous !
  • bonjour Mohammed

    ton exemple sur les deux suites u(n) et v(n) ne répond pas à la recherche proposée en effet

    $u_n = \frac{1 + (-1)^n}{2}$ et $v_n = \frac{1 - (-1)^n}{2}$

    entraînent aussitôt :

    $u_n.v_n = \frac{1 + (-1)^n}{2}.\frac{1 - (-1)^n}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0$

    et tu vérifies pour n = 0 alors u(0) = 1 et v(0) = 0 et leur produit est nul
    pour n = 1 alors u(1) = 0 et v(1) = 1 et leur produit est nul
    pour n = 2 alors u(2) = 1 et v(2) = 0 et leur produit est nul

    donc ici le produit u(n).v(n) est bien nul et cela correspond bien à u(n) nul ou bien v(n) nul
    il n'y a donc aucun paradoxe dans ton exemple qui ne correspond pas à la question posée

    par contre le paradoxe se situe dans les limites à l'infini de u(n) et v(n) et dans celle de leur produit
    en effet limite de u(n) = 1/2 et limite de v(n) = 1/2 et leur produit tend vers 1/4
    la suite constituée des produits successifs de u(n) et de v(n) est nulle, sauf à l'infini ou elle prend la valeur 1/4
    ce genre de paradoxe est fréquent avec les sommes de suites de variation alternée et plutôt rare avec les produits

    Cordialement
  • Bonjour jean lismonde,
    J'espère que tu vas bien.

    Mince, je ne m'étais pas rendu compte de ça ! Pour tout te dire, je croyais bêtement que $(u_n)$ et $(v_n)$ n'admettaient même pas de limites :-(.
    Je vais retravailler l'exercice dans ce cas pour éviter totalement les paradoxes dont tu parles, merci de ton indication (tu) !

    En te remerciant grandement,
    Mohammed R.
  • Non, en fait, je n'y arrive pas :-S... Comment se fait-il que $\lim_{n \longrightarrow +\infty} (\frac{(-1)^n + 1}{2}) = \frac{1}{2}$ ? C'est ça (et le cas similaire pour $(v_n)$) que je ne comprends pas en fait...

    Merci de m'éclairer,
    Mohammed R.
  • Bonjour MohamedR.

    Ne fais jamais confiance à Jean Lismonde quand il parle de limites, et méfie-toi du reste. Il a sa propre définition des limites, qu'il partage uniquement avec ... lui-même, et qui n'a rien à voir avec ce qu'utilisent les mathématiciens.
    Les deux suites n'ont pas de limite, leur produit en a une.

    Cordialement.

    Rappel : Il y a toutes sortes de gens sur Internet, même sur les forums de maths tu peux trouver des farfelus.
  • Ah mince... Merci de m'avoir prévenu gerard0.. Néanmoins, jean lismonde était sur ce forum avant que je ne sache compter... Cela me paraît incroyable qu'il dise des choses différentes du reste de la communauté mathématique depuis 14 ans, pas toi ?

    Sinon, sache que je ne suis pas (réellement actif ou visible) sur Internet hormis sur ce forum (de maths donc) et que, en règle générale, mes liens avec les humains sont composés en grande partie de lecture de romans, et que j'ai du mal à voir la "sombre réalité" dans la vie. Je te remercie en conséquent de ton gentil conseil.

    Merci encore,
    Mohammed R.
  • Là on peut penser à une convergence au sens de Cesàro, ie pour Mohammed qu'on considère la suite définie comme étant la moyenne des premiers termes, et effectivement on a bien pour limite 1/2.
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