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Fonction plateau

Bonjour,

Après 3 semaines sans maths, j'ai voulu tester mes capacités sur ces questions. Je me demande si ce que j'ai fait à la première question est correct :-S

Question 27 :

Montrons par récurrence que $\forall k \in \N \ \exists P_k \in \R[X] \ \ \forall t>0 \ \ \varphi^{(k)}(t)=P_k (1/t)e^{-1/t}$
  • Au rang $k=0$, il suffit de prendre $P_0 =1$
  • Supposons la propriété vraie au rang $k$.
    On a $\forall t>0$, $\varphi^{(k+1)}(t)=- \dfrac{1}{t^2} P_k '(1/t) e^{-1/t} - \dfrac{1}{t^2} P_k (1/t)e^{-1/t}$

    D'où $\boxed{\varphi^{(k+1)}(t)=- \dfrac{1}{t^2} ( P_k '(1/t) - P_k (1/t) ) e^{-1/t}}$

Il suffit de prendre $\boxed{P_{k+1}=P_k ' -P_k}$ qui est bien un polynôme de $\R[X]$ comme différence de deux polynômes.

Soit $k \in \N$. Pour montrer que $\varphi$ est de classe $C^{\infty}$ il suffit de montrer que $\varphi^{(k)}$ est de classe $C^k$.

Il reste à montrer que $\varphi^{(k)}$ est continue. C'est évident vu l'expression de $\varphi^{(k)}$.126052
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Réponses

  • Bon retour parmi nous, j'espère que tu reprendras un rythme plus sain et une attitude moins sectaire vis-à-vis des connaissances mathématiques.

    Il y a un problème de signe dans ta dérivation, et ton "c'est évident" mérite des explications, on veut montrer que la fonction en question est continue sur $\mathbb R$, pas seulement $]0, +\infty[$.
  • Bonjour
    Ta formule donnant $P_{k+1}$ est fausse.
  • @Bd2017

    Oui j'ai fait une erreur de calcul. Je rectifie : $\boxed{\varphi^{(k+1)}(t)= \dfrac{1}{t^2} \left( P_k(1/t)-P_k '(1/t) \right) e^{-1 /t}}$

    Il suffit donc de prendre $\boxed{P_{k+1}(X)=X^2 (P_k (X)- P_k '(X)) \in \R[X] }$.

    @Poirot
    Oui mon raisonnement est valable pour $t>0$.

    Je cherche à calculer $\lim\limits_{t \rightarrow 0^{+}} \varphi^ {(k)} (t)$ et $\lim\limits_{t \rightarrow 0^{+}} \varphi^ {(k+1)} (t)$ mais je n'y arrive pas.

    On sait que $\lim\limits_{t \rightarrow 0^{+}} e^{-1/t}=0$ mais comment trouver $\lim\limits_{t \rightarrow 0^{+}} P_k(1/t)$ ?

    Pour $\varphi^{(k+1)}(t)$ il y a une forme indéterminée $0 \times \infty$
  • On parle peut-être du recollement, en 0.
    Que s’y passe-t-il ?
  • @Dom

    Je viens de modifier mon message. Oui c'est le recollement en $0$ qui nous intéresse.
  • Pour $\varphi'$ en 0, tu ferais comment déjà ? Si tu ne sais pas faire le cas général avec $k$ quelconque, essaye $k=1$ pour commencer.
  • Pour $t>0$, on a $\varphi(t)=e^{-1/t}$

    Pour $t>0$, on a $\varphi'(t)= \dfrac{1}{t^2} e^{-1/t} = \dfrac{1} { t^2 e^{1/t} }$

    Comme $\lim\limits_{t \rightarrow 0^{+}} \dfrac{1}{t} = + \infty$ on a $\boxed{\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \varphi'(t)=0}$
  • C’est moi ou tu fais semblant de ne pas voir la forme indéterminée ? C’est ce qui te posait problème plus haut je te rappelle…
  • Oui j'ai écrit trop vite.

    Je ne vois pas comment se débarrasser de la forme indéterminée même pour $\varphi'$
  • On a quand même très envie de faire le changement $X=\frac{1}{t}$ puis d’aller revoir son cours sur la fonction exponentielle si ça ne suffit pas… petit exercice de lycée…

    Après cette pause estivale, tu pourrais pas repartir sur de bonnes résolutions ? Genre j’apprends mon cours, je fais des exos de lycée, j’essaye déjà de faire les cas particuliers simples avant de généraliser… déjà tout ça mis en défaut en si peu de posts.
  • Ah d'accord merci.

    On pose $X=1/t$ et quand $t$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, $X$ tend vers $+\infty$ donc $\varphi'(t)=\dfrac{X^2}{e^X}$. Par croissances comparées, $\dfrac{e^X}{X^2} \longrightarrow + \infty$ donc $\lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \varphi'(t)=0$

    J'ai utilisé la propriété : pour tous $a,b >0$, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^{ax}}{x^b}= + \infty$
  • Mais avec les $P_k(1/t)$ je ne vois pas comment calculer les limites.
  • A quoi ressemble $P_k(1/t)$ ? Cherche un peu !
  • Notons $P_k(X)=a_n X^n + \cdots + a_1 X+a_0$

    Alors $P_k(1/t)=a_n (\dfrac{1}{t})^n + \cdots + a_1 (\dfrac{1}{t})+a_0$

    Quand $t$ tend vers $0^ +$ alors on pose $X=1/t$ qui tend vers $+ \infty$

    On a au voisinage de $+\infty$ : $P_k(1/t) \sim a_n X^n$

    Donc $\varphi ^{(k)} (t) \sim \dfrac{ a_n X^n }{e^X}$ et par croissances comparées $\lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \dfrac{ a_n X^n }{e^X}=0$

    Donc $\boxed{ \lim\limits_{t \rightarrow 0^ + } \varphi ^{(k)} (t) =0}$

    A présent, on a : $P_k(X)-P_k '(X)=a_n X^n + \cdots + b_1 X+b_0$

    Avec le même changement de variable on obtient $\varphi ^{(k+1)} (t) \sim \dfrac{a_n X^{n+2} }{e^X}$ et on conclut de même que précédemment par croissances comparées.

    Enfin : $\boxed{ \lim\limits_{t \rightarrow 0^ + } \varphi ^{(k+1)} (t) =0}$

    D'après le théorème de la limite de la dérivée, $\varphi$ est de classe $C^k$ pour tout $k \in \N$, elle est donc de classe $C^{\infty}$ sur $\R$.

    Est-ce correct pour cette question 27 ?
  • Question 28 :

    Montrons que $\forall t \in \R \ \psi(t)= \varphi(1-t^2)$
    • Si $t \in ]-1,1[$ alors $0<1-t^2$ et donc $\varphi(1-t^2)=\psi(t)$
    • Si $t \in ]-\infty,-1] \cup [1,+\infty[$ alors $t^2 \geq 1$ et donc $1-t^2 \leq 0$ et donc $\varphi(1-t^2)=0=\psi(t)$

    $\psi$ est $C^{\infty}$ sur $\R$ par composition de fonctions $C^{\infty}$ car l'application $t \mapsto 1-t^2$ est clairement $C^{\infty}$ sur $\R$.

    Je ne comprends pas la question $29$ :-S
  • Pour montrer qu'une fonction est $C^\infty$, on montre qu'elle est $C^k$ pour tout $k$, tu sais qu'elle est $C^k$ en dehors de $0$, tu montres donc que $\varphi^{(k)}$ se prolonge en $0$. Question : Pourquoi as-tu voulu montrer que $\varphi^{(k+1)}$ se prolongeait en $0$ alors que tu venais de le faire avec un $k$ quelconque ?
    Sinon, c'est bien.

    Je ne sais pas quelle partie de la question 29 tu ne comprends pas, je vais supposer que c'est la première. Si $f$ est continue, quelles sont les primitives de $f$ ? Quelle est l'unique primitive de $f$ s'annulant en $0$ ?
  • Os a écrit:
    "D'après le théorème de la limite de la dérivée"

    Ce n'est pas un théorème qui me dit quelque chose. Pour moi tu n'as rien démontré. Il serait bien mieux de faire une démonstration explicite plutôt que d'évoquer un théorème créé par ton professeur pour une raison pragmatique.
    Ou alors si tu appliques un théorème que tu as vu en cours, cite le de façon explicite.

    @Grenouille factorielle. J'ai beau relire mais je ne vois pas pourquoi tu dis que c'est bien.
    Mis à part que @Os évoque un certain théorème sans le citer, comment montre-t-il que $\varphi$ est de classe $\cal{C} ^{\infty}$?
  • @Grenouille factorielle
    En effet, si c'est valable pour tout $k$ c'est valable pour $k+1$.

    @Bd2017
    Le voici. Je l'ai souvent utilisé, ça évite de calculer le taux d'accroissement.

    Par définition $\forall x \in \R \ \theta(x)= \displaystyle\int_{0}^x \psi(t) dt$. $\theta$ est une primitive, elle est dérivable.

    Donc $\theta '(x)= \psi(x)$. Mais $\psi$ est $C^{\infty}$ donc $\theta'$ est $C^{\infty}$. On en déduit que $\theta$ est $C^{\infty}$.

    Montrons que $\theta$ est constante sur $]-\infty,-1]$.
    • Sur $]-\infty,-1]$, on a $\theta'(x)=0$ donc $\theta(x)=A$
    • Sur $[1,+\infty[$, on a $\theta'(x)=0$ donc $\theta(x)=B$

    Montrons que $A \ne B$. Je bloque ici :-S
  • Tu ne réponds pas du tout à la question de bd2017, une partie de ton message a du être effacée. Est-ce que tu pourrais énoncer clairement le résultat que tu utilises, une fois la limite calculée, pour conclure que la fonction est de la régularité souhaitée (le théorème de la limite de la dérivée) ?

    Pour la 29, un dessin vaut mieux qu'un long discours (et non, ce n'est pas un chapeau !).126072
  • Oui je vais mettre le théorème. Mais quel dessin faire ? Je ne sais jamais.
  • Ben on connait la dérivée de $\theta$. Ca peut servir pour faire la courbe de $\theta$.
    Faire un dessin, parmi les résolutions à prendre que je citais, c'était à peu près la seule qui manquait.
  • @Bd2017
    Le voici.

    Voici le graphe de $\psi$ mais je ne vois pas comment tracer $\theta$.126078
    126080
    2.png 704.3K
    3.png 21.1K
  • En 1ère, pour obtenir une courbe commence par étudier les variations de la fonction… on connaît la dérivée… qu’est-ce que je dois dire de plus ?…
  • Bd2017 En effet, c'était pas bien. J'ai lu en diagonale les messages précédents et je pensais qu'il ne lui restait plus qu'à montrer que les dérivées successives étaient définies et continues en 0. Merci pour la correction.
  • Au fait, l'année prochaine, tu seras en collège ou en lycée ?
  • @Grenouille factorielle j'ai mis une photo du théorème en question.

    @Alexique
    En effet.

    Sur $]-\infty,-1]$, $\theta$ est constante égale à $A$.

    Sur $]-1,1[$, $\theta$ est strictement croissante car $\forall t \in ]-1,1[$, on a $e^{1/(t^2-1)} >0$

    Sur $[1,+\infty[$, $\theta$ est constante égale à $B$.

    On a donc d'après le tableau de variations de $\theta$ que : $A <B $ et donc $A \ne B$.

    @Polka
    Collège.
  • Par contre la question 30 m'a l'air bien plus difficile ::o

    Je ne vois pas trop le rapport avec ce qui précède.
  • Ben il faut bricoler pour construire cette fonction en faisant des opérations géométriques sur la courbe de $\theta$. Tu as une fonction $C^\infty$ qui passe de A à B, tu en veux une qui passe de 0 à 1 (si on essaye de faire la partie gauche de la courbe dans un premier temps). Une fois qu'elle est faite, il faut la symétriser par rapport à l'axe des ordonnées.

    Il va falloir faire des dessins, te creuser la tête...
  • Bonsoir
    @Os, Ok pour le théorème.
    Je me doutais bien que la situation rencontrée étant fréquente qu'on en fasse un "théorème". D'ailleurs c'est un peu fort d'appeler ce résultat "théorème". Mais surtout je ne pense pas "que le théorème de la limite de la dérivée" est connu par beaucoup de monde. (Je ne parle pas du résultat mais de la dénomination de ce résultat).
  • Holà, la question 30 est technique! (cela ne veut pas dire difficile)
    Comme dit par @Alexique, un dessin est nécessaire.
    Mais avant, il serait utile (mais pas absolument nécessaire) de remarquer que $\theta$ est impaire (donc $A=-B$ )
    Pour t'aider voici les premières étapes.

    1. Fait un dessin pour $\theta$ sur $]-\infty,3]$


    2. Faire une translation de $\theta$ (i.e du graphe de $\theta$ restreint à $]-\infty,3]$) de sorte la nouvelle fonction (on va l'appeler $h_1$ soit définie sur $]-\infty,0]$

    3. Fais un dessin de $h_1$ et commence à réfléchir à ce qu'il faut faire à $h_1$ pour répondre au critère demandé sur $]-\infty,0]$
  • Bd2017 Tu te trompes, il l'est. En tout cas dans les prépas où j'ai été, tout le monde le connaissait et le nommait ainsi.
  • Je crois que j'ai déjà vu ce théorème sous d'autres noms.

    Ok merci Bd2017, je repars en vacances mais je vais tenter d'y réfléchir et de répondre à tes questions intermédiaires, je ne suis pas pressé.
  • @Grenouille factorielle. Ok.
    Mais bon je ne connais pas ce "théorème" et ce n'est pas un problème pour moi. B-).
    La fonction $\rho$ est une fonction de troncature qui sert à localiser les régularités.... je suis curieux de voir la suite du problème...
    Bonnes vacances @Oshine....
  • Inégalité de Bernstein centrale mp maths 2021 maths 2.
  • Bonjour,

    j'ai toujours un problème avec le calcul de $\varphi^{(k+1)}(t)$
  • Bonjour
    Pour $t>0$ on a $\varphi^{(k}(t)=p_k(1/t)\exp(-1/t)$
    Donc $\varphi^{(k+1)}(t)=\exp(-1/t)\dfrac{p_k(1/t)-p'_k(1/t)}{t^2} $
    Posons $p_{k+1}(x)=x^2(p_k(x)-p_k'(x).$ Alors $p_{k+1}$ est un polynôme (dont le degré est celui de $p_k$ augmenté de 2 ) et on a bien
    $$
    \varphi^{(k+1}(t)=\exp(-1/t) p_{k+1}(1/t).$$
  • moi j'ai $-X^{2}(P_{k}(X)+P_{k}'(X))$
  • Oui mais alors il faut revoir ton calcul. Sinon donne le pour te dire où est ton erreur.
  • OShine écrivait:
    • Au rang $k=0$, il suffit de prendre $P_0 =1$
    • Supposons la propriété vraie au rang $k$.
      On a $\forall t>0$, $\varphi^{(k+1)}(t)=-
      \dfrac{1}{t^2} P_k '(1/t) e^{-1/t} -
      \dfrac{1}{t^2} P_k (1/t)e^{-1/t}$

      D'où $\boxed{\varphi^{(k+1)}(t)=- \dfrac{1}{t^2}
      ( P_k '(1/t) - P_k (1/t) ) e^{-1/t}}$

    Quand je met $-
    \dfrac{1}{t^2} e^{-1/t}$ en facteur j'ai une somme dans la parenthèse non?
  • Tu fais une erreur en dérivant $\exp(-1/t)$
  • Je voulais dire, dans le post initial d'OS, que l'on passe de ça:

    $\varphi^{(k+1)}(t)=-
    \dfrac{1}{t^2} P_k '(1/t) e^{-1/t} -
    \dfrac{1}{t^2} P_k (1/t)e^{-1/t}$

    à ça:

    $\varphi^{(k+1)}(t)=- \dfrac{1}{t^2}( P_k '(1/t) - P_k (1/t) ) e^{-1/t}$.

    J'avais mal précisé.
  • De quel problème viennent ces questions 27, 28,29, 30 ?
  • OShine écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2291072,2292334#msg-2292334
    La fin du sujet s'en sert pour lisser la convolution il me semble (je joins la fin du sujet, comme plusieurs personnes ont demandé d'où cela venait).126212
  • Ça ne dit pas d'où ça vient.
  • D'après le message d'OShine: le sujet de maths 2 MP de CentraleSupelec 2021. Mais peut être que la question est de savoir ce qui a inspiré ce sujet ?
  • Qu'est-ce qu'une fonction plateau ?
  • Amédé il y a une erreur de calcul dans mon premier message que j'ai corrigée dans la suite.
  • julian : c'est une dénomination "standard non officielle" pour un type de fonction $\mathcal{C}^{\infty}$ à support compact : l'idée est de construire une fonction qui vaut $1$ sur un intervalle fermé $[a;b]$ et nulle en dehors d'un intervalle $[c;d]$ qui contient $[a;b]$... mais de classe $\mathcal{C}^{\infty}$. Donc il faut "raccorder" le "plateau" où la fonction vaut $1$ au "plancher" qui vaut $0$ de manière $\mathcal{C}^{\infty}$. La méthode habituelle est de considérer une suite de raccordements par des polynômes de degré croissant.
  • Pour la question 30 je n'ai pas compris pourquoi on doit faire un dessin sur $]-\infty,3]$ et ensuite translater :-S
  • Si tu ne vois pas, c'est parce que tu ne fais pas le travail demandé! Fais un dessin.
    Sinon laisse tomber.
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