Question sur les catégories

topopot

Bonjour
Dans la définition d'une catégorie (voir ci-dessous pour voir celle que je prends), je sais qu'il y a un débat quant au fait que les objets de ladite catégorie forment un ensemble ou non. Par exemple, le cours que je regarde parle d'une classe d'objets, afin notamment de pouvoir considérer plus loin la catégorie des ensembles dont les objets ne forment pas un ensemble. Je sais aussi qu'il est possible de définir un "grand" ensemble (univers) pour ne pas faire cette contorsion mais là n'est pas ma question.

Toujours dans la définition d'une catégorie $C$, il est dit que pour tous objets $X$ et $Y$, il existe un ensemble $\mathrm{Hom}_C(X,Y)$ dont les éléments sont appelés morphismes de $X$ vers $Y$. Pourquoi est-ce qu'ici, on ne prend pas la précaution précédente et qu'on est "strict" en exigeant un ensemble plutôt qu'une classe ? Est-ce uniquement pour pouvoir parler d'"application" pour la composition apparaissant plus loin dans la définition ?

Thierry Poma

Bonjour

Disons que, dans la plupart des catégories considérées (des ensembles, des espaces topologiques, des groupes, des anneaux, des modules, ...), étant donnés une catégorie $\mathscr{C}$ et des $\mathscr{C}$-objets $a$ et $b$, il n'est pas indispensable de considérer autre chose que l'ensemble $\mbox{Hom}_{\mathscr{C}}(a,\,b)$ des flèches ou morphismes du $\mathscr{C}$-objet $a$ vers le $\mathscr{C}$-objet $b$.

Ajoutons qu'il y a d'autres façons de procéder, car ce n'est pas le seul point de vue des mathématiciens : Saunders Mac Lane débute son ouvrage avec le concept de méta-catégories (fondées sur la notion de méta-graphes constitués d'objets et de flèches), pour rapidement passer aux catégories au sens que tu connais. Charles Ehresmann utilise la notion de classes, et tout particulièrement celle de classes multiplicatives. L'on pourra également étudier le point de vue constructif avec la leçon 27 de Pierre Ageron où le concept de classes est prédominant.

Cordialement,

Thierry

PS : voici en pièce jointe le point de vue méta-catégorique de Mac Lane.

topopot

Intéressant, merci !

J'aurai sûrement d'autres questions sur les catégories, je continuerai ici.

Alesha

De telles catégories sont dites "localement petites". Ca permet de considérer les foncteurs $Hom_C(X, -): C \to Set$ et $Hom_C(-, Y): C^{op} \to Set$.

topopot

J'ai une question sur la définition d'un foncteur de catégories (voir ci-dessous pour la définition).

On est d'accord que pour tout objet $X$ de la catégorie de départ, on a l'existence mais pas nécessairement l'unicité de l'objet $F(X)$ de la catégorie d'arrivée ? Même chose pour $F(f)$ avec $f$ morphisme de la catégorie de départ.

Cela ne pose-t-il pas un problème ?

Alesha

Qu'est-ce que ça voudrait dire qu'on n'ait pas l'unicité de l'objet $F(X)$?! Pour chaque objet $X$ de $C$, $F(X)$ désigne un (unique) objet de $D$. Bien sûr, si $X \not= Y$, alors on n'a pas nécessairement $F(X) = F(Y)$. Si tu supposes que les objets de $C$ et les objets de $D$ forment des ensembles (si les catégories sont "petites"), alors l'action de $F$ sur les objets est une fonction.

topopot

Merci pour la clarification.

Julia Paule

Ces questions m'interpellent : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2289020,2289020#msg-2289020. J'en ai d'autres (si je peux m'immiscer dans le fil) :

1) que sont les objets ? est-ce des ensembles (comme tout ce qui existe en théorie des ensembles, enfin il me semble), ou bien quelque chose de plus large encore ?
2) que sont les classes par rapport aux ensembles ? il semble que ensemble => classe, le contraire est faux.

Merci d'avance.

Thierry Poma

@JP : bonjour. Dans la catégorie des espaces topologiques, les objets sont de la forme $(T,\,\mathscr{O}_T)$, où clairement $T$ est un objet de type ensemble, appelé ensemble de base, et où $\mathscr{O}_T\in\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(T))$. Les flèches que l'on choisit de scruter sont les fonctions continues.

Dans la catégorie des groupes, les objets sont de la forme $(G,\,m)$, où clairement $G$ est un objet de type ensemble, appelé ensemble de base, et où $m{}\in\mathfrak{P}((G\times{}G)\times{}G)$ est fonctionnelle. Les flèches sont les homomorphismes de groupes.

Dans chacun des cas, des axiomes explicites sont vérifiés (aussi bien par $\mathscr{O}_T$ que par $m$), mais les définitions des catégories (j'en connais au moins trois) ne le précisent pas explicitement.

Pour ta deuxième question, il s'agit d'un problème, pour ainsi dire, de fondements des catégories. Il y a également une alternative qui consiste à considérer les univers de Grothendieck. En reprenant le premier exemple, l'on sait qu'il existe un univers de Grothendieck $U_T$ tel que $T\in{}U_T$. Partant, l'on a\[T\in{}U_T\Rightarrow{}\mathfrak{P}(T)\in{}U_T\Rightarrow\mathscr{O}_T\in\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(T))\in{}U_T\Rightarrow\mathscr{O}_T\in{}U_T\]de sorte que $\mathscr{O}_T\in{}U_T$. L'on peut travailler dans $U_T$, lequel est un ensemble. Encore faut-il adjoindre un axiome aux axiomes de $\mathbf{ZFC}$ pour rendre possible ce qui précède.

Maxtimax

Julia:

Si tu es dans ZFC, tout est effectivement ensemble, donc les objets de ta catégorie sont des ensembles. Mais l'idée est qu'on s'en fiche complètement, et la définition de catégorie peut se donner dans plein de contextes, et le fait que ce soit des ensembles n'est pas important.
Par exemple on peut formuler des définitions de catégories "internes" à d'autres catégories, et de fait obtenir des catégories dont les objets ne sont pas des ensembles.
Un autre exemple de "non importance" est qu'on peut formuler une définition essentiellement équivalente de catégories sans la notion d'objet, où on ne met que les flèches.

Bref, oui, mais ce n'est pas important.

Attention : même si $x,y\in Ob(C)$ sont des ensembles, ce n'est pas pour autant que $\hom(x,y)$ est un sous-ensemble de l'ensemble des applications de $x$ vers $y$.

Pour ta question 2), comme le fait remarquer Thierry, c'est une question de fondations. Comment parler de classes dans ZFC ? Il y a différentes manières de le faire rigoureusement, et certaines marchent mieux que d'autres pour ce qu'on veut faire avec des catégories. Il est par contre important d'avoir une distinction de tailles (peu importe comment elle est implémentée à la fin des fins).
La chose la plus efficace est de prendre des univers (mais certaines personnes n'aiment pas parce qu'on sort du cadre stricto sensu de ZFC). Une autre option est d'être tout le temps très précis sur les bornes cardinales, et on s'en sort bien ainsi, mais bon, c'est pénible et ça nous fait nous emmêler dans des problèmes inessentiels.

Julia Paule

Merci à vous.

1) TP, les exemples de catégorie que tu donnes sont des exemples où les objets sont des ensembles (espaces topologiques, groupes).
Maxtimax, en effet j'avais remarqué que les catégories elles-même n'apparaissent pas comme étant forcément des ensembles (mais je ne pourrais pas de le démontrer).
Sinon, avez-vous un exemple de catégorie dont les objets ne sont pas des ensembles (et pas non plus des catégories, ni des classes) ?

Maxtimax, je ne vois pas comment $Hom(x,y)$ (l'ensemble des morphismes de $x$ vers $y$) ne pourrait pas être une partie de l'ensemble des applications de $x$ vers $y$ ?

2) j'ai bien peur de ne pas avoir assez de connaissances pour comprendre ce que vous dites. Merci quand même.

Du coup, j'ai eu l'idée d'aller voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Classe_(mathématiques). Je crois comprendre grosso modo : on utilise par exemple le mot "classe" quand on ne peut pas parler d' "ensemble" ; par exemple, quand on parle de la collection de tous les ensembles qui ont une propriété $P$ et que la collection possède elle-même cette propriété, cette collection ne peut pas être un ensemble (qui s'appartiendrait lui-même), on préfère alors parler de classe.

3) j'ai une question très bête : aurait-on le droit de mettre dans un même ensemble par exemple deux ensembles $X$ et $Y$, et $f$ une application de $X$ vers $Y$, égal à $\{X,Y,f \}$ ? donc des choses qui ne sont pas de même nature.

Rescassol

Bonjour,

Par exemple, Python sait le faire:

X=range(0,12,2)
Y=range(1,20,2)

def f(x):
    return x+1
    
A=[X,Y,f]    

Alors $A[2](A[0][5])$ répond $11$.

Cordialement,

Rescassol

Martial

@Julia : en fait tes objets $X,Y,f$ sont de même nature, à savoir des ensembles... tout simplement parce qu'une fonction est un ensemble particulier. Plus précisément : soit $f$ un ensemble. $f$ est une fonction ssi les deux conditions suivantes, sont réalisées :
1) $f$ est un ensemble de couples, i.e. d'ensembles du type $(x,y)= \{\{x\}, \{x,y\}\}$.
2) Si $(x,y) \in f$ et $(x,z) \in f$, alors $y=z$.

Donc, oui, tu as tout à fait le droit de parler de l'ensemble $A= \{X,Y,f\}$, avec $f$ fonction de $X$ dans $Y$.

gerard0

Bonjour Julia Paule.

Nulle part dans les considérations sur les ensembles (*) il n'y a de limitations sur ce qu'ils peuvent contenir. Sauf que dans la plupart des théories des ensembles (mais pas toutes) on évite d'avoir $E\in E$. Certaines théories l'évitent en typant les ensembles, un ensemble étant de type supérieur à ses éléments.

Cordialement.

(*) aussi bien naïf que dans les théories élaborées

Héhéhé

Pour un exemple de catégorie où les morphismes ne sont pas des applications, il me semble qu'on peut considérer un graphe comme une catégorie (dont les objets sont les sommets) et un morphisme entre deux sommets $x$ et $y$ est l'ensemble des chemins reliant $x$ et $y$.

A confirmer, je ne suis vraiment pas très connaisseur de cette théorie.

Magnolia

Bonjour

Voilà deux exemples de catégories d'un autre genre. :

Soit $G$ un groupe dont l'élément neutre est $e.$. on prend la catégorie $\cal G$ ayant un seul objet $e$ et pour flèches $e\to e$ les éléments du groupe. Bien sûr la composition des flèches est la multiplication du groupe.

Soit $(X,\leq)$ un ensemble ordonné. La catégorie $\cal X$ a pour ensemble d'objets les éléments de $X$ et $Hom(x,y)$ a une et une seule flèche si $x\leq y$ et est vide sinon.

Par ailleurs il y a des catégories obtenues à partir de catégories "usuelles" où on quotiente l'ensemble des flèches entre deux objets par une relation d'équivalence. Un cas bien connu est la catégorie obtenue à partir de celle des espaces topologiques dans laquelle les flèches sont les classes d'homotopie.

Julia Paule

Merci à tous.

Ok, on a le droit de parler de l'ensemble : $\{2, f, P \}$, où $f$ est une fonction, $P$ un point, et $2$ le nombre ordinal qui suit immédiatement $1$.

Ok, les morphismes ne sont pas forcément des applications.

En effet, si on considère que les catégories ne sont pas des ensembles, on peut considérer des catégories dont les objets sont des catégories, et cela fournit un exemple de catégorie dont les objets ne sont pas des ensembles.

Merci Magnolia. Vu tes exemples, on peut écrire un peu ce qu'on veut pour une catégorie : non seulement les objets peuvent ne pas être des ensembles ou des classes ou des catégories (vu plus haut), mais aussi les morphismes, i.e. les flèches (vu plus haut : pas forcément des applications) peuvent être des relations (qui sont aussi des ensembles, comme les graphes), donc les morphismes peuvent être aussi vus comme des ensembles, ou des classes d'équivalence de morphismes (qui sont aussi des ensembles).
Finalement, une catégorie, c'est des objets (d'une classe) entre lesquels (2 par 2) on met un ensemble, éventuellement vide.

Julia Paule

Encore une question (j'utilise le même fil). Mon cours parle de "variance" sans avoir défini ce terme :

"Le composé de deux foncteurs de même variance est covariant, celui de deux foncteurs de variances opposées est contravariant"

Pouvez-vous me donner la définition (je ne la trouve pas dans Wiki) ?

Merci d'avance.

Thierry Poma

@JP : bonjour. L'on peut voir les choses différemment. Selon Emily Riehl, considérons des catégories $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$.

Un foncteur contravariant $F$ de $\mathscr{C}$ dans $\mathscr{D}$ est un foncteur $F:\mathscr{C}^{\text{dual}}\to\mathscr{D}$, où $\mathscr{C}^{\text{dual}}$ est la catégorie duale ou opposée de $\mathscr{C}$. De manière plus explicite, ce foncteur satisfait les données suivantes :

• Un $\mathscr{D}$-objet $F(c)$, pour chaque $\mathscr{C}$-objet $c$.
• Un $\mathscr{D}$-morphisme $F(f):F(c')\to{}F(c)$, pour chaque $\mathscr{C}$-morphisme $f:c\to{}c'$, de sorte que\[\mbox{dom}\,F(f)=F(\mbox{codom}\,f)\text{ et }\mbox{codom}\,F(f)=F(\mbox{dom}\,f)\]

Lire également la note de Emily Riehl ci-jointe.

Exemple : soient $\mathscr{C}$ une catégorie et $\text{Ens}$ celle des ensembles. Le foncteur $\mathscr{C}^{\text{dual}}\to\text{Ens}$ est appelé pré-faisceau et est naturellement contravariant sans qu'il soit utile de le préciser.

Cette notion de variance pourrait se définir en considérant le groupe multiplicatif $(\{-1,\,1\},\,\times)$ dont les éléments de l'ensemble sous-jacent pourrait être appelé poids du foncteur selon que ce dernier est covariant ou contravariant. Il faut un peu travailler.

Maxtimax

Je reviens sur un truc que tu as dit Julia : "groupes [...] sont des ensembles".

Attention, en tant qu'ensemble, un groupe c'est très très peu intéressant. Selon la manière dont on formalise les choses, un groupe ça a au plus 7 éléments, enfin un nombre fixe et pas très haut (par exemple si on formalise la notion de groupe par celle de couple $(G, \mu)$, ça a au plus 2 éléments) et en particulier, un morphisme $(G, \mu) \to (H, \nu)$ n'est pas un cas particulier d'application du premier ensemble vers le second (alors même que les deux sont des ensembles)

C'est pour ça que parfois on a emvie de dire quand même qu'un groupe "ce n'est pas un ensemble", ou encore qu'on dit que la TDE n'est pas un langage super adapté pour l'algèbre (on a envie que ce que je viens de raconter soit ridicule - et ça l'est si on accepte que les ensembles sont là juste pour avoir une machinerie interne)

Mais sinon des exemples où ce ne sont vraiment pas des ensembles structurés + applications entre eux t'ont été donnés donc ça va.
Après, je mentionne au passage qu'il y a encore pire : les exemples qui t'ont été donnés (un graphe ou un grouoe ou etc.) ne sont pas définis comme tels, mais peuvent être réalisés (à équivalence de catégorie près) comme des ensembles structurés avec certaines applications entre eux; le truc pire c'est qu'il y a des exemples de catégories qui ne peuvent pas être réalisées comme telles.

Julia Paule

Ah la notion de variance, c'est juste ça : $\pm 1$ ? covariant / contravariant ? Merci beaucoup TP.

Julia Paule

Maxtimax, j'ai écrit ça, un groupe = un ensemble ?

$(G, \mu)$, j'ai beau chercher je ne vois pas ce qu'est $\mu$.

Maxtimax

Julia : non, pas " $=$ ", mais tu as écrit : " les exemples de catégorie que tu donnes sont des exemples où les objets sont des ensembles (espaces topologiques, groupes)."

$\mu$ est censé être la multiplication du groupe !

Et je confirme que la variance c'est juste co vs contra, sachant que comme Thierry l'explique, tout foncteur est covariant, c'est juste que parfois, on s'intéresse à $C$, mais on a un foncteur qui part de $C^{op}$ alors on dit "c'est contravariant".

Julia Paule

Merci Maxtimax. Un foncteur contravariant de $C$ vers $D$ est un foncteur covariant de $C^{op}$ vers $D$, ou de $C$ vers $D^{op}$.

Julia Paule

1) J'ai écrit qu'un morphisme de $X$ vers $Y$ objets d'une catégorie $C$ est plus qu'une application, voire une relation, et finalement un ensemble éventuellement vide http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2289020,2297136#msg-2297136.
Mais en fait, c'est un peu plus que ça, c'est une flèche qui converse la structure attachée à la catégorie $C$ (par exemple si $xy=z$ dans $X$, alors $f(x)f(y)=f(z)$ dans $Y$, ou si $x \leq y$ dans $X$, alors $f(x) \leq f(y)$ dans $Y$) ?

2) J'ai du mal à me représenter un morphisme qui n'est pas une application. Auriez-vous un exemple, par exemple d'un morphisme qui soit une relation ?

3) Sinon, comment compose-t-on deux morphismes qui ne sont pas des applications, ni des relations ? Si ce sont des relations, j'imagine qu'on considère l'ensemble des couples $(x,z)$ tels qu'il existe $y$ tel que $(x,y)$ et $(y,z)$ sont dans les relations respectives ?

Maxtimax

1) dans beaucoup d'exemples concrets, oui, mais pas toujours. Des exemples ont été mentionnés où les flèches sont.juste des objets formels, qui ne sont pas des "applications qui préservent la structure"

2) La catégorie Rel dont les objets sont les ensembles, et les flèches $X\to Y$ sont les relations entre $X$ et $Y$. On compose les relations via $R\circ S = \{(x,z)\mid \exists y, (x,y)\in S \land (y,z)\in R\}$.

Mais à nouveau : il y a des catégories où ce n'est ni des relations ni des fonctions, juste des trucs qui sont là et qu'on appelle flèche.

3) La composition, $\circ$ est une des données de la notion de catégorie. Une catégorie vient avec la réponse à "qui est $f\circ g$ ?". Donc "comment composer" : regarder dans la définition de ta catégorie

Chat-maths

Le message de Magnolia te donne deux exemples de 2), et répond aussi à 3).

Tu parles de "structure attachée à une catégorie $\mathcal{C}$". Encore une fois: une catégorie n'est pas nécessairement la donnée d'une "structure" (encore une fois, les exemples de Magnolia).

Une catégorie, c'est des objets, des flèches (i.e pour chaque paire d'objet $(x, y)$, un ensemble de trucs, qu'on appelle "ensemble des flèches de $x$ à $y$"), et une loi de composition sur les flèches, c'est tout : les objets n'ont pas à être des "trucs avec une structure".

C'est comme les groupes : plein de groupes sont des groupes de symétrie d'objets géométriques (donc leurs éléments sont des fonctions, et la multiplication du groupe est la composition), mais pour autant les éléments d'un groupe abstrait sont juste des éléments d'un ensemble, et la loi de composition est une loi de composition abstraite sur un cet ensemble, "et c'est tout".

Julia Paule

Merci beaucoup.

Chat-maths, ton message m'éclaire. On ne comprend bien quelque chose qu'avec un exemple.

Pour le 1er exemple de Magnolia, $Hom_{\cal G} (e,e) =$ l'ensemble des éléments de $G$, c'est juste un ensemble, pas une relation.
Pour son 2ème exemple, $Hom_{\cal X} (x,y) = \{ x \rightarrow y \}$ si $x \leq y$, $Hom_{\cal X} (x,y) =\emptyset$ sinon. $\forall x, y \in Ob \cal X$, c'est juste un ensemble.

C'est très général, il faut abandonner tous ses réflexes.

Maintenant, comment compose-t-on deux morphismes ?

Dans le 1er exemple, vu qu'il y a un seul objet, la composition est la multiplication dans le groupe : $g \circ f=fg$ (ou $gf$) ?, ne faut-il pas préciser quand on donne la catégorie). Cette composition est imposée par la donnée de la catégorie, je veux dire par là que ce n'est pas une déduction, n'est-ce pas ?
Dans le 2ème exemple, si $x \leq y$ et $y \leq z$, c'est $Hom_{\cal X} (x,z) = \{ x \rightarrow z \}$, et $\emptyset$ dans les autres cas ?

J'imagine que cette composition est "naturelle" pour les catégories où les morphismes sont des applications, voire des relations (groupes, anneaux, ensembles, ...) : on compose les applications ou les relations. "Naturelle" dans le sens où elle va sans être dite. Dans les autres cas, la donnée de la catégorie impose cette composition des flèches, comme elle impose les flèches elles-mêmes (je veux dire par là que la composition des flèches fait partie intégrante de la donnée de la catégorie) ? Je crois que je réponds à la question en la posant.

Finalement, une catégorie, c'est juste des objets et des flèches (qui représentent des ensembles) entre ces objets, la manière de composer ces flèches, ces objets et ces flèches vérifiant un certain nombre de propriétés (tout en haut du fil).

Une dernière question : de $Hom_C (X,Y)$, peut-on en déduire directement $Hom_C (Y,X)$ ?

Poirot

Oui, une catégorie c'est la donnée d'objets et de flèches (vérifiant quelques propriétés axiomatiques). Souvent les objets sont des ensembles munis de structure et les flèches sont les "morphismes" préservant la structure, mais comme tu as pu le constater dans ce fil, ça n'est pas du tout le cas en général. La composition est "encodée" dans la définition d'une catégorie, ce n'est pas un apport supplémentaire. S'il y a une flèche $f$ de $X$ dans $Y$ et une flèche $g$ de $Y$ dans $Z$, il y en a une (par définition) de $X$ dans $Z$ qui est notée $g \circ f$.

Pour la dernière question c'est non. Par exemple dans la catégorie des ensembles, si on prend pour $Y$ un singleton, alors pour tout $X$, $Hom(X, Y)$ est réduit à l'application constante, tandis que $Hom(Y, X)$ s'identifie facilement à $X$.

Maxtimax

Je donne, à tout hasard, une liste d'exemples de catégories "bizarres" (dont beaucoup ont déjà été citées) :

1) Soit $G$ un groupe. $BG$ a un objet, $\bullet$, et $\hom_{BG}(\bullet,\bullet) = G$ avec la composition qui est la multiplication.

2) Soit $(X,\leq)$ un ensemble préordonné. On définit une catégorie dont les objets sont les éléments de $X$ et $\hom(x,y) = \{(x,y)\}\cap \leq$. La composition est entièrement déterminée, mais à tout hasard je la précise : il s'agit de $(y,z)\circ (x,y) = (x,z)$.

3) Soit $R$ un anneau. On définit une catégorie dont les objets sont les entiers naturels, et $\hom(n,m) = M_{n\times m}(R)$. La composition est donnée par la multiplication de matrices.

4) Rel est la catégorie que j'ai explicitée plus tôt.

5) Une catégorie qui a deux objets $\alpha,\beta$ (je ne vous dis pas qui ils sont, si ça vous gêne, disons que $\alpha = \mathbb R$ et $\beta = M_{563}(\mathbb Q_{23})$, vous me direz si ça change quelque chose :-D) et qui a exactement deux flèches $\alpha\to \beta$, et des identités. La composition est entièrement déterminée aussi.

6) Plus amusant et énervant à la fois: soit $C$ la catégorie dont les objets sont les groupes, et $\hom(G,H)= $ l'ensemble des applications ensemblistes $G\to H$ (aucune restriction). La composition est la composition usuelle d'application.
(Petite question : cette catégorie est-elle plus proche de celle des groupes ou de celles des ensembles ?)

7) encore plus perturbant: soit $H$ la catégorie dont les objets sont les espaces topologiques, et $\hom(X,Y) = $ l'ensemble des applications continues $X\to Y$ quotienté par la relation "être homotope à".
Théorème: cette catégorie n'admet aucune description de la forme "une sous-catégorie d'une catégorie de la forme 'ensembles + structures et applications préservant cette structure' "
(exercice: trouver de telles descriptions pour les exemples 1)-6) . 4) est peut-être un peu dur)

Julia Paule

Merci à vous.

Ok Poirot, toutes les données de la catégorie (objets, flèches, composition des flèches) sont "encodées" dans la catégorie.
Dans une catégorie disons classique (ensembles, groupes, anneaux, ...) où les objets sont des ensembles et les morphismes des applications, tous les axiomes (à partir du 3ème dans la définition donnée dans le 1er message de ce fil) sont automatiquement vérifiés ? En fait, ils ne sont là que pour des objets qui ne sont pas des ensembles et/ou des morphismes pas des applications ?

Dans le cas où les morphismes ne sont pas forcément des applications, l'élément $Id_X$ de $Hom_C(X,X)$ c'est quand même bien l'identité classique sur $X$ ?

Maxtimax,
1) déjà vu avec Magnolia (exemple 1). Pourquoi désigne-t-on cette catégorie par BG ?

2) c'est $hom(x,y)=\{(x,y)\}$ si $x \leq y$ et $\emptyset$ sinon ?

3) je l'ai vue dans mon cours

4) ok, intéressant ; l'exemple 2 de Magnolia est une sous-catégorie de cette catégorie ?

5) s'il n'y a que deux objets, et deux flèches qui les relient, la composition n'est pas très compliquée

6) très intéressant ; je dirais que cette catégorie est plus proche de celle des ensembles, les groupes ont perdu toute substance vitale, en fait c'est une sous-catégorie pleine de celle des ensembles

7) j'ai du mal à comprendre l'exercice, j'y reviendrai.

Alesha

Julia Paule a écrit:

6) très intéressant ; je dirais que cette catégorie est plus proche de celle des ensembles, les groupes ont perdu toute substance vitale, en fait c'est une sous-catégorie pleine de celle des ensembles

Quelle est ta définition de "sous-catégorie"?

Maxtimax

Julia : pour ta question sur $id_X$ : non !!! il faut oublier l'idée que les morphismes sont des applications. Voir par exemple mon exemple 2), où $id_x = (x,x)$.

Pour tes autres questions :
1) Pour la distinguer de $G$, et aussi parce qu'elle a des liens profonds avec l'espace classifiant de $G$, qui est un objet topologique aussi souvent noté $BG$.

2) oui, ça revient à ça, mais c'est pas mal de l'écrire sans "cas par cas" :-D

4) Qu'appelles-tu "l'exemple 2) de Magnolia" ?

6) C'est la bonne réponse. En fait, elle est équivalente à une sous-catégorie pleine de celle des ensembles (à savoir celle des ensembles qui admettent au moins une structure de groupe, donc - modulo AC - celle des ensembles non vides). C'est un des exemples qui montre que : a) la notion d'équivalence de catégories est plus pertinente que celle d'isomorphisme, et b) la notion de "sous-catégorie (non pleine)" est subtile puisque pas invariante par équivalence (cf. point a) )

Julia Paule

Alesha, sous-catégorie $D$ de la catégorie $C$ : $Ob D \subset Ob C$ et $Hom_D(X,Y) \subset Hom_C(X,Y)$ pour tous objets $X$ et $Y$ de $D$.

A ce propos, mon cours dit que si $D$ est une sous-catégorie d'une catégorie $C$, on dispose d'un foncteur covariant naturel d'inclusion de $C$ dans $D$. J'aurais dit de $D$ dans $C$, non ?

Maxtimax, qu'est alors $Id_X$ pour un morphisme de $Hom(X,X)$ qui n'est pas une relation ?

Exemple 2 de Magnolia : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2289020,2297046#msg-2297046 (catégorie sur l'ensemble $(X, \leq $) ; heu non cela ne semble pas correspondre : dans son exemple, il y a au plus une flèche entre deux objets, et dans le tien, autant que de relations entre eux. J'y réfléchirai plus tard, je dois y aller.

Maxtimax

Julia : l'exemple 2) de Magnolia est mon exemple 2), pas mon 4). Attention, ils n'ont pas grand chose à voir.

$id_x$ ça peut être n'importe quoi que t'as envie d'appeler $id_x$ et qui vérifie les axiomes

Alesha

Julia Paule a écrit:

sous-catégorie $D$ de la catégorie $C$ : $Ob D \subset Ob C$ et $Hom_D(X,Y) \subset Hom_C(X,Y)$ pour tous objets $X$ et $Y$ de $D$.

Alors pourquoi 6) serait-elle une sous-catégorie de la catégorie des ensembles et fonctions?

Thierry Poma

@JP : la méta-définition que tu donnes d'une sous-catégorie est incomplète. Je te laisse la compléter. Cela revient à dire que le foncteur-inclusion $F:D\to{}C$ est tel que la méta-application\[\left|
\begin{array}{rcl}
\mbox{Hom}_{D}(A,\,B)& \longrightarrow &\mbox{Hom}_{C}(F(A),\,F(B))\\
f& \longmapsto &F(f)\\
\end{array}
\right.\]pour tous $D$-objets $A$ et $B$, est injective, donc que le foncteur-inclusion $F$ est fidèle.

Julia Paule

Maxtimax, oui, $Id_X$, morphisme de $X$ dans lui-même, est n'importe quoi qui vérifie l'axiome de neutralité des identités.
Finalement dans une catégorie, on peut se moquer des objets (cela peut être n'importe quoi), voire même des morphismes entre les objets (cela peut être n'importe quoi, dont la collection forme un ensemble entre deux objets), ce qui compte c'est comment sont composés les morphismes. Cette composition est associative, de neutre $Id_X$.
Et un foncteur entre deux catégories est simplement quelque chose qui envoie les objets et les morphismes de l'une sur l'autre, et qui est compatible avec ces propriétés.

Tout ensemble non vide a au moins une structure de groupe ?

Heu oui l'exemple 2) de Magnolia est ton exemple 2), j'ai répondu un peu vite.

Alesha, heu oui pour 6), j'ai encore répondu trop vite : les objets groupes ne sont pas des objets ensembles, on peut seulement passer de l'une à l'autre par un foncteur d'oubli, donc la catégorie des groupes n'est pas "incluse" dans celle des ensembles.

Moyennant la remarque de Maxtimax, on peut renvoyer les objets ensembles non vides vers les objets groupes, ainsi que leurs morphismes, on n'obtient pas une identité en composant (mais seulement un isomorphisme) car rien ne dit qu'on a renvoyé la loi de groupe de départ ?

TP, soit $F$ le foncteur d'inclusion, $F(A)=A, F(B)=B, F(f)=f$, donc il est toujours fidèle (l'application $f \mapsto F(f)$ est injective).
Je ne vois pas où la définition est incomplète ? Je n'ai fait que recopier la définition de mon cours.

Poirot

Julia Paule a écrit:

Tout ensemble non vide a au moins une structure de groupe ?

En travaillant avec l'axiome du choix, oui. Si $E$ est un ensemble non vide, il est en bijection avec un cardinal $\kappa$ d'après ledit axiome, et il existe toujours un groupe de cardinal $\kappa$. Si $\kappa$ est fini, on peut prendre un groupe cyclique d'ordre $\kappa$, et sinon le groupe $\mathbb Z[X_{\alpha} \mid \alpha < \kappa] = \oplus_{\alpha < \kappa} \mathbb Z$ convient.

Julia Paule

Pour l'exercice de Maxtimax, pour la 1), une sous-catégorie $D$ de $BG$ serait une catégorie contenant le même objet $\bullet$, et telle que $hom_D (\bullet, \bullet)=H$, un sous-groupe de $G$.
Pour la 2), ce serait une catégorie dont les objets constituent une partie $Y$ de $X$, donc ordonnée par le préordre sur $X$, et les morphismes : $hom_D(x,y)=hom_C(x,y)$ si $x$ et $y$ sont tous deux dans $Y$.

Julia Paule

Merci Poirot. Je me disais que s'il existait toujours un groupe de cardinal un nombre cardinal donné, c'était gagné : on a une bijection avec un groupe, et on transporte la structure de groupe de l'un sur l'autre.

Poirot

C'est ça, mais on a besoin de l'axiome du choix pour dire que tout ensemble est en bijection avec un cardinal.

Maxtimax

Julia : oui, voilà, $id_x$ peut être n'importe quoi, comme tu le dis, c'est la composition qui compte (comme dans un groupe: on se fiche complètement de l'ensemble sous-jacent, c'est la multiplication qui compte - bon, ça commence à être moins vrai quand le groupe a plus de structures, mais tenons-en nous là pour l'instant).

Poirot a répondu à ta question sur les groupes (il s'avère que c'est équivalent à l'axiome du choix d'ailleurs, ce qui est une belle surprise quand on ne le sait pas)

Pour l'exercice, je crois que je n'ai pas été super clair mais il n'est pas super important pour le moment, pas d'inquiétude.

Thierry : pourquoi tous ces "méta" ? Par ailleurs, "fidèle" n'est pas une bonne description de ce qu'est une sous-catégorie, vu que c'est invariant par équivalence alors que la notion de sous-catégorie ne l'est pas.

Thierry Poma

@JP : bonjour. je ne sais pas quel cours tu possèdes, mais voici ce qu'en dit Emily Riehl. Les autres auteurs dont je possède les livres vont dans le même sens. Je le rappelle, tu avais écrit ceci seulement :

sous-catégorie $D$ de la catégorie $C$ : $Ob D \subset Ob C$ et $Hom_D(X,Y) \subset Hom_C(X,Y)$ pour tous objets $X$ et $Y$ de $D$.

La deuxième reproduction est pour Maxtimax, que je salue au passage. A mon sens, lorsque l'on plonge dans les catégories, nous plongeons avant tout dans la méta-mathématique.

Maxtimax

Thierry : je connais bien la définition de sous-catégorie, pas d'inquiétude ;-) j'y ai même beaucoup réfléchi puisqu'elle est pénible.

Je maintiens que "foncteur fidèle" ne suffit pas à la capturer : une sous-catégorie est quelque chose qui dépend de la catégorie à isomorphisme près et non pas à équivalence près (plus précisément, elle dépend de la catégorie munie d'une présentation, c'est-à-dire ici d'une surjection $X\to \pi_0(C^\simeq)$ ), alors que la notion de foncteur fidèle, elle, est une notion qui est invariante par équivalence.

Thierry Poma

@Maxtimax : donc, quand Mac lane précise que ce foncteur d'inclusion est automatiquement fidèle, je jette cette affirmation. Quel ouvrage me conseilles-tu pour approfondir le tout, s'il te plait ?

Chat-maths

@Thierry
MacLane a raison quand il dit que le foncteur d'inclusion d'une sous-catégorie dans sa sur-catégorie est fidèle. Ce que dit Maxtimax c'est qu'une sous-catégorie n'est pas uniquement la donnée d'un foncteur fidèle (car ça c'est une donnée invariante par équivalence). Grosso modo, ce qui fait que ça plante, c'est qu'une sous-catégorie est aussi la donnée d'un certain sous-ensemble d'objets de la surcatégorie, et l'ensemble des objets d'une catégorie n'est pas invariant par équivalences de catégories.

Sinon, le Riehl est très bien, et tu sembles déjà le posséder.

Julia Paule

TP, en effet, au vu de la définition de mon cours, une sous-catégorie $D$ de la catégorie $C$ ne serait pas forcément une catégorie : il manque que pour tous objets $X,Y,Z$ de la sous-catégorie, et tout morphisme $f \in Hom_D(X,Y)$ et tout morphisme $g \in Hom_D(Y,Z)$, alors $g \circ f \in Hom_D(X,Z)$, et aussi que pour tout objet $X$ de $D$, $Id_X \in Hom_D(X,X)$. Merci.

Maxtimax, j'ai en effet mal compris l'exercice. Je reviens.

Maxtimax

Thierry : non, bien sûr que le foncteur est fidèle, je dis juste que ça ne suffit pas à caractériser les sous-catégories.

(oups, Chat-Maths l'a déjà dit)

Thierry Poma

@Maxtimax, @Chat-maths : quel homme stupide que je suis. J'ai écrit : Cela revient à dire que (...). C'est faux ! La donnée d'un foncteur d'inclusion fidèle $F:D\to{}C$ ne suffit pas pour conclure que $D$ est une sous-catégorie de $C$. Je vous remercie.

J'ai reçu le Riehl ce vendredi 3 septembre 2021. C'est un livre très riche et très bien écrit.

@JP : je suis heureux que tu aies corrigé. Veux-tu me dire le cours ou le livre que tu lis, s'il te plait ?

Julia Paule

Bonjour TP,

C'est un cours d'un prof qu'on peut trouver sur internet.