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Bon ordre sur $\R$

Grâce à l'AC il existe un bon ordre sur R. Ce bon ordre est-il susceptible d'être découvert un jour ou y a-t-il une impossibilité conceptuelle. Je croyais avoir les idées claires sur ça mais bon, peu à peu le doute s'insinue en mon esprit et...
Bonne soirée.
Jean-Louis.
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Réponses

  • Le slogan usuel c'est qu'un tel bon ordre est inexplicite, mais il est un peu imprécis. Quelques précisions:

    0- "Ce bon ordre" : attention, AC nous dit qu'il en existe un, mais à partir de là il en existe des tonnes et des tonnes. Toute permutation de $\R$ t'en fournit un autre, isomorphe, mais il en existe d'autres non isomorphes aussi. Donc on ne peut pas parler "du bon ordre" qu'on pourrait décrire ou pas.

    1- Même si tu me sors une formule $R(x,y)$ telle que parfois, elle définit un bon ordre, tu ne pourras de toute façon pas le prouver sans AC (ou une forme faible, je veux dire : dans ZF)

    2- On a tendance à dire "AC => inexplicite" ou "pas constructible"; mais c'est une idée reçue : l'univers constructible de Gödel, $\mathbb L$ satisfait AC.

    3- Joel David Hamkins a répondu à cette question sur MathOverflow, la voici. Cela donne une formule qui, sous réserve de $V=\mathbb L$ (qui est strictement plus fort qu'AC), définit un bon ordre de $\R$. Elle n'est pas extrêmement complexe (JDH affirme, sans le prouver, que sa complexité est $\Delta^1_2$, c'est relativement bas)

    4- Il serait intéressant de voir si on peut déterminer, sous AC, la complexité minimale d'une telle formule. Je pense que c'est quelque chose que les "descriptive set theorists" sauraient étudier.
  • Pour 4-, ce serait amusant de voir si on peut prouver des trucs comme "un tel bon ordre ne peut pas être Borel" ou quelque chose du genre, ou dans l'autre direction "il existe forcément un bon ordre borélien"...
  • @Max : je peux me tromper mais il me semble bien que si HC est vraie et si $\preceq$ est un bon ordre sur $\mathbb{R}$, alors $\preceq$ (vu comme un sous-ensemble de $\mathbb{R}^2$) n'est jamais Lebesgue-mesurable. L'argument utilise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\omega_1$ et, si on suppose l'ensemble mesurable Fubini donne $0=+ \infty$.

    Hélas, je n'arrive plus à l'écrire.

    Bref, si ce truc est vrai ça prouve en particulier que $\mathbb{V}= \mathbb{L}$ entraîne l'existence d'un sous-ensemble $\mathbf{\Delta^1_2}$ de $\mathbb{R}^2$ qui n'est pas LM.

    A prendre avec des pincettes...
  • Un bon ordre sur $\mathbb{R}$ n'est en effet jamais Lebesgue-mesurable, cf. par exemple ici : https://math.stackexchange.com/questions/88757/nice-well-orderings-of-the-reals
  • @Mattar : merci pour cette référence. C'est bien ce que je pensais : en simplifiant la preuve donnée dans ton lien je devrais réussir à reconstituer la preuve dont je parlais ci-dessus.

    @Max : je sais construire le bon ordre "canonique" de $\mathbb{L}$ (enfin, surtout quand j'ai mes notes sous les yeux), mais je ne sais pas démontrer que la trace sur $\mathbb{R}$ de ce bon ordre est $\mathbf{\Delta^1_2}$. Et pourtant, il fut une époque où je bouffai de la théorie descriptive dès le p'tit dej. C'est vraiment la honte !!!
  • @Jean-Louis : je ne sais pas si cela va t'aider mais je fais souvent le parallèle suivant : mettons que tu veux construire un ultrafiltre $U$ non principal sur $\omega$, i.e. plus fin que le filtre de Fréchet. Tu sais d'entrée de jeu que tu dois mettre toutes les parties de complémentaire fini dans $U$, et toutes les parties finies pas dans $U$. Reste le problème des parties infinies de complémentaire infini. Tu en pécho une, et tu décides arbitrairement de la mettre dans $U$ ou pas. Si tu la mets, tu dois mettre tous ses sur-ensembles dans $U$. Si tu ne la mets pas, tu dois mettre tous ses sous-ensembles en dehors de $U$. Maintenant, tu regardes ce qu'il te reste et tu pécho une partie dans ce qui reste, et ainsi de suite.

    Tu vois bien que si tu disposais d'un bon ordre sur $\mathscr P(\omega)$ tu finirais par y arriver.

    Hélas...

    P.S. : "Tout le monde sait bien" que $\mathscr P(\omega)$ c'est la même chose que $\mathbb{R}$.
  • 1/ Oui, le bon ordre sur l'ensemble des réels constructibles (qu'on ait ou non $V=L$) est assez simple et ne peut pas être borélien puisqu'on peut à partir de lui fabriquer des ensembles non Lebesgues mesurables.

    2/ Comme vous le savez tous 2, $V=L$ dit que $\R=$ ensemble des réels constructibles

    3/ "Etre constructible" est $[\exists \forall]$ (il existe un modèle dénombrable de $ZF+V=L$ et bien fondé (c'est là que le $\forall$ de droite apparaît) qui me contient)

    4/ Les bons ordres qu'on peut donc définir se devinent comme étant de la même complexité, sachant qu'à l'image de ce qui se passe pour la dualité récursif/récursivement énumérable, quand on a trouvé qui est le plus petit, l'autre est plus grand et donc on peut même avoir une complexité du genre $[\exists \forall] \cap [\forall \exists]$ (qui est réputée mieux, plus simple, mais pour ce contexte, ça ne change pas grand chose).

    5/ @JL : il n'y a donc pas de réponse à ta question qui soit "fixe". Ça dépend de l'univers. Dans certains univers le BO n'est pas plus complexe que l'ensemble des dérivables** ou des $C^\infty$, dans d'autres, il n'est même pas projectif.

    ** vue comme l'ensemble des points à coordonnées rationnelles dans leur épigraphe
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Echanges entre Hadamard, Borel, Baire et Lebesgue sur la notion de "bon ordre" :


    http://www.numdam.org/article/BSMF_1905__33__261_1.pdf
  • Merci umrk pour ce document précieux
  • Il faut surtout remercier la SMF d'avoir pensé à rendre accessibles ces échanges. Il est incroyablement enrichissant d'avoir un aperçu de leurs points de vue, et de leurs arguments. Cela vole haut, très haut, entre ces géants, et je pense que leurs arguments restent d'actualité (mais ça c'est aux contributeurs de ce site de le dire).

    Ils n'avaient pas de forums internet, mais ça ne les empêchait pas de débattre .....
  • Maxtimax : je m'incruste pour poser une question sur ta remarque que "AC implique non explicite" est erronée.

    Je ne connais pas trop les histoires d'univers constructible (la logique formelle et la théorie des ensembles, j'aime bien mais à faibles doses...) mais dans les mathématiques que j'ai faites, à chaque fois que j'ai vu une utilisation de l'axiome du choix, ça détruisait l'aspect constructif de la preuve. Je veux bien qu'on puisse faire une construction explicite d'un ensemble/d'une classe et démontrer que le truc satisfait l'axiome du choix, mais je vois mal (vu la formulation de AC) comment une utilisation de AC puisse ne pas être non constructive (vive les doubles négations).

    Je ne serais pas contre un petit peu de culture mathématique si je me trompe sur ce que je raconte.
  • Je ne suis pas d'accord avec Max. Même si $\mathsf{AC}$ est vérifié par $L$, ses conséquences n'en sont pas pour autant explicites car $L$ lui-même n'est pas vraiment "explicite" ou "constructif" en fait (contrairement à ce qu'on peut penser avec son nom) puisqu'il est construit par récurrence transfinie.
  • Le mot "constructif" n'a pas vraiment de sens mathématique.
    Le théorème de complétude de la logique du premier ordre est-il constructif? On ne connait pas vraiment de modèle de ZF ou de PA.
    Ce théorème admet pourtant une preuve intuitionniste, trouvable sur le site de Jean-Louis Krivine.
  • @Homo Topi. Si vous invoquez AC, vous n'avez pas explicité la fonction, mais rien n'interdit qu'il en existe une parfaitement explicite.

    Par exemple soit $\approx$ la relation d'équivalence définie sur $\mathbb R$ par
    $x \approx y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb Z$.

    Pour trouver un représentant de chaque classe, on peut invoquer AC, ou trouver une réponse explicite (même si AC est valide).

    PS : en remplaçant $\mathbb Z$ par $\mathbb Q$, sans AC on ne sait pas faire
  • Foys : pour moi, le mot "constructif" a quand même un sens. Un procédé qui permet d'identifier l'existence d'un objet $x$ et d'écrire $x=\dots$ est constructif selon moi. On affirme l'existence d'un objet, et on précise qui c'est dans l'ensemble dans lequel il existe. Je trouve ça toujours mieux de faire du constructif quand c'est possible (et/ou utile/instructif).

    Des fois, on n'en a pas besoin. Pour prendre un exemple tout simple, le théorème de Rolle : on sait qu'il existe un $c$ dans $]a;b[$ tel que $f'(c)=0$ sous les hypothèses du théorème, mais on ne sait pas exactement qui est $c$. Pas grave, on n'en a pratiquement jamais besoin. Dans la pratique, la fonction à laquelle on appliquerait le théorème est clairement identifiée, donc on peut peut-être identifier $c$ quand même, ou au pire, on l'approche avec une précision arbitraire avec des méthodes numériques. Avec Rolle, je suis dans la situation de "il existe $c$" mais juste avec le théorème en lui-même (sans faire de travail supplémentaire), je ne peux pas écrire $c=$ un élément spécifique de $\R$. Donc pour moi, Rolle est un théorème "non constructif". Note que je ne lui en veux pas pour ça, il sert déjà très bien pour faire de la théorie, et on ne lui en demande pas plus.

    J'ai travaillé sur un document qui construisait "la" mesure de Haar sur un groupe topologique localement compact. On construisait explicitement l'ensemble dans lequel on allait appliquer le lemme de Zorn pour dire "il existe une mesure qui fait exactement ce dont on a besoin". Elle existe, on connait ses propriétés et ça suffit pour l'utilisation qu'on veut en faire, mais si c'est pour écrire $\mu(A)=\dots$ en fonction de la partie $A$, ça ne marche pas trop, parce qu'on ne sait pas qui exactement est la mesure. Ce n'est pas ce qui nous intéresse, donc ça ne pose aucun problème, mais c'est "non constructif".

    Est-ce que "constructif" ou "non constructif" peut avoir un sens mathématique ? Oui. Faut-il rejeter le non constructif pour autant ? Certainement pas. En tout cas, c'est mon avis.
  • Médiat : intéressant ! (d'ailleurs, on a l'habitude de se tutoyer sur le forum)

    Avec $\Z$, un nombre va être représenté par sa partie décimale, donc on comprend que le quotient sera en correspondance avec $[0;1[$. Pour le démontrer proprement, là j'avoue ne pas avoir essayé de l'écrire, j'ose prétendre que ça se fait.

    Avec $\Q$, sans passer plus de temps dessus je ne sais même pas à quoi ressemble le quotient, donc pour trouver à la main un système de représentants, je jette l'éponge pour l'instant. C'est bien trouvé comme exemple :-D
  • Il est impossible de donner une construction d'une section de $\mathbb R/\mathbb Q$, puisque son image est notoirement non mesurable (ensemble de Vitali), et on ne peut pas exhiber de partie non mesurable de $\mathbb R$ (sauf si $\mathsf{ZF}$ est non consistante par exemple, voir le modèle de Solovay et les discussions de consistances relatives autour).
  • Je me disais bien que ça me rappelait quelque chose, cette histoire... l'ensemble de Vitali, en effet.
  • Poirot : bah une récurrence transfinie c'est quand même très constructif :-D

    Je t'exhibe un ensemble de représentants de $\mathbb{R/Q}$ sous l'hypothèse que $V=L$ (voire que $\mathbb R\subset L$) : pour chaque classe, prendre le plus petit réel qui lui appartient, au sens du bon ordre global défini sur $L$.
    Tout à fait constructif, non ?
  • A mon sens, en tout cas, non :-D

    Mais peut-être que ma définition de "constructif" est également restrictive... à voir si je suis trop exigeant.
  • Je suis d'accord que $\mathsf{ZF + V=L}$ permet de parler de cette construction, ou plutôt de dire qu'un tel objet "doit exister", mais tu ne peux pas m'écrire en un nombre fini de symboles une définition de cette fonction.
  • Poirot, tu penses quoi de ma définition de "constructif" que j'ai donnée en réponse à Foys ci-dessus ? Tu aurais la même ? Elle correspond à peu près au consensus standard sur "constructif" ?

    Je ne sais pas trop si les matheux constructivistes ont la même définition que moi. En tout cas, je ne rejette pas purement et simplement les démonstrations "non constructives", mais je préfère les constructives quand c'est possible d'en avoir. Même si elles sont plus compliquées, je trouve qu'on y gagne quand même en général.
  • Je préfère ne pas m'aventurer dans une définition formelle de "constructif". Ce qui est sûr, c'est que je ne considère pas les procédés qui ont lieu dans $L$ comme "constructifs".
  • Oui... je vois bien la définition "on peut obtenir $x=\dots$ en un nombre fini d'étapes" ne pas marcher. Une utilisation de AC, c'est $1$ étape :-D
  • Poirot : ah si je peux te l'écrire en un nombre fini de symboles ! De la même manière que $V=L$ est un axiome (et pas un schéma ou que-sais-je). Tu ne pourras effectivement pas (ou aura du mal à) me dire qui de $\pi$ ou $\pi+\frac 1 2$ vient en premier, mais ça n'en reste pas moins descriptible.

    HT : l'exemple de la mesure de Haar n'est pas idéal puisqu'elle est unique à renormalisation près, donc si tu fixes un sous-ensemble mesurable de mesure non nulle et que tu décrètes que sa mesure vaut $1$, en principe pour tout autre $A$, $\mu(A)$ est entièrement déterminé (quoique peut-être difficile à calculer - mais si on commence à refuser les choses difficiles à calculer comme "non constructives", on commence à avoir des soucis)
  • Bah, on peut remplacer ce que j'ai dit par "la famille de mesures de Haar" si on veut, mon argument de fond ne change pas (on démontre qu'elles existent en appliquant AC sans les déterminer). Mais bon, mon argument sur le théorème de Rolle tient toujours si on veut un exemple très simple d'un truc qui est à mon sens non constructif.
  • Voir ce message sur MathStack. Je suppose que la "non constructibilité" fait plutôt référence à une "non récursivité" ici. En particulier je considère le non récursif comme du non constructif.
  • @Poirot : tu es allé trop vite sur le modèle de Solovay : ce n'est pas "si ZF est inconsistante", c'est "s'il existe un cardinal fortement inaccessible".
  • Mon message n'était pas très précis, je le sais, c'est pour ça que j'ai dit de regarder du côté des histoires de consistance.
  • @Poirot : OK.

    @Tous : tout cela me rappelle ce qu'on appelle le théorème de prolongement de la dérivée.

    Théorème : Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b]$. Si $\lim \limits_{x \to a^+} f'(x)=l$, alors $f$ est dérivable à droite en $a$ et $f'_d(a)=l$.

    La preuve classique dit : soit $x \in ]a,b]$. Par le TAF il existe $c_x \in ]a,x[$ tel que $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(c_x)$. Par gendarmes on a $\lim \limits_{x \to a^+} c_x = a$, puis par hypothèse et par composition de limites on a
    $$\lim \limits_{x \to a^+} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=l$$, CQFD.

    Problème : il y a pléthore de tels $c_x$, donc sans le faire exprès on utilise AC. Certes, on peut se ramener à AC-dénombrable en remplaçant $\varepsilon$ par $\dfrac{1}{n}$.

    Mais quelqu'un connaît-il une preuve totalement AC-free ?
  • Oui on s'en sort sans choix en "n'explicitant pas" le $c_x$ et en disant simplement que pour tout $\theta$ suffisamment proche de $a$, on a $f'(\theta)$ proche de $l$.
  • Autrement dit, pas besoin d'écrire $\lim_{x \to a} f'(c_x) = l$, seulement que $\left|\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} - l\right| < \varepsilon$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$.
  • @Poirot : OK merci, je vois le truc. Ce qu'il y a c'est que si tu veux l'écrire proprement c'est beaucoup plus lourd qu'avec AC$_{\omega}$.
  • Techniquement, ne pas expliciter $c_x$ juste pour "cacher" qu'on utilise AC, c'est un peu de la triche à mon sens.

    J'aime beaucoup l'exemple de Martial, il montre à quel point c'est facile d'utiliser AC sans s'en rendre compte et à quel point il est utile même en dehors de "la théorie des ensembles pour elle-même" (je sais qu'il y a des gens qui adorent la TDE).

    Quand j'étais étudiant, un de mes profs nous racontait que l'axiome du choix avait été très froidement accueilli par la communauté mathématique (c'est sans doute pour ça qu'il en existe des formes faibles, pour essayer d'apaiser un maximum de mathématiciens non convaincus), notamment parce qu'il permettait de construire des ensembles non mesurables et que les gens n'aimaient pas ça du tout.

    Mais plus tard, j'ai appris que l'axiome du choix était équivalent à "toute relation d'équivalence admet un système de représentants". Depuis, je trouve ça complètement fou de vouloir se priver de l'axiome du choix, pour des raisons purement algébriques : on construit tellement de choses en faisant des quotients que de se priver de systèmes de représentants serait un handicap majeur pour pouvoir écrire des choses. Cependant, je n'avais pas d'exemple en tête d'une utilisation "a priori anodine" de AC dans un contexte simple, et surtout, non algébrique/ensembliste.

    Je préfère toujours pouvoir me passer de AC quand c'est possible, dans le sens, quand c'est possible de faire une construction explicite du truc pour lequel AC servirait de raccourci. Mais parfois, ce n'est pas possible, et je ne pense pas qu'il faille vouloir se priver exprès de l'axiome du choix. Non pas que j'accuse quelqu'un de faire ça ici, bien entendu.

    En tout cas, merci Martial pour ton exemple avec le prolongement de la dérivée !
  • @Homo Topi : Je t'avais déjà donné un exemple élémentaire à faire en exercice, où l'on ne peut pas se passer de choix (faible). Je te le redonne : essaye de démontrer que si pour toute suite $(u_n)_n$ convergeant vers $a$, $(f(u_n))_n$ converge vers $l$, alors $f$ admet $l$ pour limite en $a$.
  • Ma première rencontre avec l'axiome du choix a eu lieu dans un contexte similaire à l'exemple abordé par Martial. C'était une démonstration de début de cours de topologie, je ne me souviens plus des détails, mais on choisissait un voisinage $\mathcal V_x$ de chaque point $x$ de notre espace topologique à un moment de la démonstration.

    A la fin de la démonstration, le prof nous signale qu'on a utilisé l'axiome du choix dans ce passage, puis reprend la démonstration et contourne le problème, de manière similaire à ce que j'ai proposé pour l'exemple de Martial.
  • Je crois que la seule fois qu'on en a parlé, c'était en Master, dans le cours sur les représentations des groupes. On avait démontré que tout espace vectoriel admet une base avec le lemme de Zorn, pour pouvoir démontrer l'existence du produit tensoriel de deux espaces vectoriels. Je ne me souviens pas si le résultat était effectivement nécessaire. En soi, vu que le cours niveau agreg se limite aux représentations "intéressantes" sur les groupes finis, et qu'elles sont toutes de dimension finie, on aurait peut-être pu s'en passer complètement.

    Mais je suis certain qu'on a utilisé AC plein de fois pendant mes études, sans nous le dire explicitement. Certainement en topologie, mesure, ou même dans certains résultats d'analyse (cf Martial). C'est tellement simple de dire "il existe" sans se rendre compte que c'est grâce à un AC que c'est vrai. En un sens, ça rend presque le rejet de AC ironique vu à quel point c'est naturel de dire "il y a un truc dans le bazar, on ne sait pas où il est, mais on sait qu'il est dedans, alors c'est bon".
  • L'existence du produit tensoriel de deux espaces vectoriels (ou de deux modules en général) ne nécessite effectivement pas l'axiome du choix. Par contre l'axiome du choix est équivalent à l'existence d'une base dans tout espace vectoriel.

    PS : Tu devrais faire l'exercice que je te propose ci-dessus. Ce n'est pas un problème de dire "il existe", c'est plus subtil que ça.
  • Oui, j'essaierai de le faire un peu plus tard.

    Et j'ai un peu dit n'importe quoi. On utilisait AC pour montrer que tout EV admet une base, donc spécifiquement pour la dimension infinie... on avait besoin de ça pour je ne sais plus quel exercice, en rapport avec le PT. On ne s'en servait effectivement ni pour démontrer l'existence du PT. Peut-être pour établir sa propriété universelle, je ne sais honnêtement plus.
  • Personnellement je trouve un peu dégueu d'utiliser AC pour l'exemple de Martial...
  • Toutes les preuves de maths sont constructives. Vous construisez une fonction (au sens de programme informatique) qui prend en entrée des garanties d'énoncés (choisis arbitrairement et appelés "axiomes") et qui rendent en sortie une garantie d'un énoncé spécifique. C'est ça une démonstration.
    La correspondance de Curry-Howard ne dit pas autre chose.

    Si parmi les énoncés en question se trouve un énoncé qui dit qu'il existe certaines fonctions, bah dans les conclusions vous pouvez vous retrouver avec l'existence d'autres fonctions.
  • @HT : Ta preuve de l'existence du produit tensoriel utilisait sûrement l'axiome du choix, en passant par des bases de tes espaces. C'est la construction que l'on donne "à bas niveau" car elle est assez explicite, mais on peut faire différemment et sans axiome du choix.
  • La construction générale des produits tensoriels (de famille de modules mettons) ne passe pas par le théorème de la base incomplète ou l'axiome du choix. Etant donné un anneau commutatif $K$ et une famille finie de $K$-modules $(M_1,...,M_n)$,on construit explicitement $\bigotimes_{i=1}^n M_i:= A^{(M_1 \times ... \times M_n)}/F$ où $F$ est le sous-module engendré par tous les éléments de la forme $\mathbf 1_{x_1,...,\alpha y_k+\beta z_k, ... x_n} - \alpha \mathbf 1_{x_1,...,y_k,...,x_n} - \beta \mathbf 1_{x_1,...,z_k,...,x_n}$, où $\alpha,\beta \in K$, $y_k,z_k\in M_k$ et $x_i\in M_i$ pour tout $i$.
  • J'en avais même fait une construction encore plus générale avec Maxtimax. Mais Poirot a peut-être raison, je ne me souviens plus de mes études en détail.
  • La construction classique que l'on peut donner en L3 (et que l'on m'a donné en L3) est basée sur la même idée. On prend $(e_i)_{i \in I}$ et $(f_j)_{j \in J}$ des bases (AC !) de $E$ et $F$ respectivement, et on désigne par $E \otimes F$ l'espace vectoriel engendré par des symboles $e_i \otimes f_j$, soumis aux conditions (ce qui revient à faire un quotient comme le fait Foys) qui rendent bilinéaire le symbole $\cdot \otimes \cdot$.
  • @raoul : c'est peut-être dégueu mais ça montre bien qu'il est facile de tomber dans le panneau en utilisant une forme faible de AC sans s'en rendre compte. Essaye de rédiger proprement la preuve de Poirot, tu vas voir que ça prend 15 lignes, alors qu'avec AC-Den ça tient en 2 lignes.

    Si tu trouves mon exemple peu probant, on peut revenir sur l'exercice donné par Poirot à Homo Topi (caractérisation de la continuité en termes de suites dans un espace métrique). Ma prof de sup avait fait cette démonstration, et bien sûr je n'y avais vu que du feu. (Bon, d'accord, là il y a vraiment besoin de AC-Den, mais c'est juste pour dire).
  • Martial, je suis d'accord avec toi pour AC-Den. Je l'ai sûrement utilisé en analyse sans m'en rendre compte. Par contre pour AC tout court je ne sais pas si je me ferais avoir. Dans l'exemple que tu as donné c'est le passage $\lim \limits_{x \to a^+} c_x = a$ que je trouve vraiment moche (tu m'excuseras).

    Même sans connaître AC, si un prof m'avais montré ça j'aurais sûrement cherché une autre preuve.
  • @raoul : ce truc que tu trouves vraiment moche n'utilise que AC-Den, puisque dans le calcul de la limite tu peux remplacer $\varepsilon$ par $\dfrac{1}{n}$.

    Quant à chercher une autre preuve, je ne sais pas de quelle génération tu es mais à mon époque (1975/76 en sup), ce n'était vraiment pas dans notre culture : on avait une confiance absolue dans le prof. D'ailleurs ça a aidé à mal façonner ma formation. Prépa : tu n'as guère le temps d'aller traîner tes guêtres dans une bibliothèque. Licence de maths après une M' : tu te balades littéralement, je me souviens qu'en fonctions analytiques il y avait des DMs facultatifs, je les faisais de tête. Ce n'est qu'en maîtrise, voire en prépa agreg, que j'ai commencé à fourrer mon nez dans les bouquins. Erreur grave !
  • @Martial je précise : ce que je trouve moche c'est ta première version, celle qui est avec AC tout court pas celle avec AC-Den.

    En ce qui concerne la confiance absolue dans les profs, tout ce que je sais c'est que si pour moi la preuve était dégueulasse et ben elle était dégueulasse confiance ou pas. D'ailleurs j'avais du mal à continuer à suivre un cours si le prof n'était pas très rigoureux. En stats/proba j'en ai bavé par exemple.

    Petit souvenir : En proba le prof avait dit sans le dire qu'on pouvait additionner, multiplier etc. les variables aléatoires et qu'on obtenait encore une v.a. à la fin. Ce truc sans preuve me dérangeait tellement que j'avais essayé de le prouver seul mais sans succès (bien que ce ne soit pas très difficile). À la fin j'avais posé la question à l'assistant de topologie je crois. Je lui ai écrit sur le tableau noir ma question avec mon début de preuve foireuse... il a pris l'éponge et a tout effacé en disant qu'il ne supportait pas les proba. :-D

    Finalement j'ai trouvé la preuve dans un bouquin de la bibliothèque.
  • Martial a écrit:
    Mais quelqu'un connaît-il une preuve totalement AC-free ?
    Les notations sont celles de ton post. Soit $\varepsilon>0$. Soit $\alpha>0$ tel que pour tout $x\in ]a,\alpha]$, $$|f'(x)-\ell| < \varepsilon \tag 1$$ Soit $y\in ]a,\alpha]$. Par les accroissements finis, il existe $z\in ]a,y]$ tel que $\frac{f(y)-f(a)}{y-a}=f'(z)$. Donc $\left |\frac{f(y)-f(a)}{y-a} - \ell\right |< \varepsilon$ (en remplaçant $x$ par $z$ dans $1$ et en éliminant l'égalité dans $(1)$). Donc comme $y$ est quelconque (nouvelle lettre), $f$ est dérivable à droite en $a$, de dérivée à droite $\ell$.
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