Enoncés (non) équivalents à l'axiome du choix

Homo Topi

Je lance un fil de discussion qui pourrait a priori être très vite réglé.

J'ai essayé de chercher dans ma mémoire si je connais un théorème, dont la preuve repose sur l'axiome du choix, qui n'y est pas équivalent. Et je ne me sous souvenu d'aucun tel résultat ! Je lis tellement souvent "ça dépend de l'axiome du choix, en fait ça y est même équivalent" que j'en suis venu à me demander s'il existe des résultats qui sont des "conséquences strictes" de l'axiome du choix et qui ne pourraient pas le remplacer. J'espère qu'il y en a, s'il y en a ça ne devrait pas être long avant qu'on en ait une flopée ici :-D

Quand je dis "l'axiome du choix", je parle de l'AC standard (celui qui est, entre autres, équivalent au lemme de Zorn), je sais qu'il en existe des formulations plus fortes/faibles, je préfère ne pas m'en préoccuper pour l'instant.

Donnez-moi votre culture B-)-

Thierry Poma

Homo Topi

Bonjour. J'espère que tu vas bien. (AC) entraîne (TE) (i.e. le principe du tiers exclu).

Thierry

Homo Topi

Pour autant que je sache, le principe du tiers exclu est déjà vrai sans AC puisqu'il est inhérent aux logiques bivalentes. Je ne vois pas encore comment prouver ce que tu affirmes, mais, soit.

Foys

Thierry parle du théorème de Diaconescu.

Médiat

C'est le théorème de Diaconescu, et s'applique à une théorie des ensembles constructiviste

[EDIT] Grillé

Cyrano

Tout corps commutatif admet une clôture algébrique.

Homo Topi

J'aurai appris un truc alors :-)

Je pensais plus à des théorèmes en-dehors à de la logique, mais loin de moi l'idée de rejeter ça.

Homo Topi

Cyrano : tu me surprends, là. Je "sais" que des énoncés comme "tout EV admet une base" et le théorème de Krull sont équivalents à AC, je suis étonné que celui-là ne le serait pas, ça mérite réflexion...

Cyrano

@Homo Topi : La preuve classique repose sur le lemme de Zorn, mais il existe une preuve exotique basée sur le théorème de compacité (logique), dont on sait qu'il est strictement plus faible que l'axiome du choix.

christophe c

Tu en as vraiment une floppée comme tu t'en doutes.

- Déjà toutes les formes + faibles strictement d'AC

- Tout ensemble peut être totalement ordonné

- tout filtre peut être prolongé en un ultrafiltre

- Tychonoff seulement pour les espaces T2 (Tychonoff tout entier équivaut à AC)

- Tout plein de machins "modérés" sur les cardinaux

- Tout cas particulier (genre IR peut être bien ordonné)

- Toutes les négations d'énoncés violemment en contradiction avec AC (genre "il y a un ensemble non mesurable" etc)

christophe c

Et oui, en présence de l'EXTENSIONNALITE, on a même "in some sense":

$$ AC \iff TiersExclus $$

Et pas seulement une implication dans un sens "en amont", car AC a un équivalent de la forme

$\{x\mid R(x)\}$ existe

Donc fondamentalement, si on considère une "hiérarchie" du fondamental à l'appliqué, AC et TE sont une "même entité" scientifique. C'est pourquoi, il y a une forme de "jouissance" pour les experts à vers de la SET théory sans AC et avec des principes qui le violent franchement, car ils ont l'impression de garder le platonisme cash qu'ils aiment tout à voguant dans le monde "non classique".

Je te prouve que AC=>TE (en présence de l'extensionalité)

$A:=\{x\mid x=0$ ou $((x=1)$ et $P)\}$

$B:=\{x\mid x=1$ ou $((x=0)$ et $P)\}$

Soit $f$ qui choisit un élément dans chacun de ces ensembles.

Intuitionnistiquement tu prouves que $f(A)=f(B)\iff P$ (en fait c'est évident quasiment, mais n'oublie par l'extensionnalité)

Comme par ailleurs tu as $(f(A)=f(B))$ ou $non(f(A)=f(B))$

Tu as donc $[P$ ou $nonP]$

Poirot

On peut aussi citer Hahn-Banach, qui est impliqué mais pas équivalent à $\mathsf{AC}$.

Homo Topi

Je ne me souviens plus de la preuve de Hahn-Banach. Il faudra que je la revoie, mais d'abord, l'analyse plus basique. Faisons les choses dans l'ordre !

Le coup des clôtures algébriques me plait bien. J'essaierai d'y réfléchir.

Poirot

Dans l'analyse réelle "basique" comme tu dis tu ne trouveras pas beaucoup plus que l'axiome du choix dénombrable.

Par exemple pour la caractérisation séquentielle de la limite : je te laisse réfléchir à comment démontrer que si pour toute suite $(u_n)_n$ de réels convergeant vers $a$, $(f(u_n))_n$ converge vers $\ell$ alors $f$ admet $\ell$ comme limite en $a$.

christophe c

[small]Précision : "A ou B" est une abréviation de

$$ \forall X: [(A\to X)\to ((B\to X)\to X)] $$[/small]

Bon, comme c'était un supplément un peu HS, j'utilise des petits caractères.

Martial

@Poirot : "Dans l'analyse réelle "basique" comme tu dis tu ne trouveras pas beaucoup plus que l'axiome du choix dénombrable. "

Il y a des exceptions. Par exemple la preuve de la réciproque de Bolzano-Weierstrass* utilise (sauf erreur de ma part) l'axiome du choix dépendant, qui est plus fort que le choix dénombrable.


* Théorème : soit $E$ un espace métrique dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente. Alors, $E$ est compact.
ACD intervient dans le 1er lemme : modulo l'hypothèse, pour tout $\varepsilon >0$ il est possible de recouvrir l'espace avec un nombre fini de boules de rayon $\varepsilon$.

Maxtimax

Un fun fact d'analyse: la caractérisation séquentielle de la continuité en un point requiert une forme d'AC (enfin, n'est pas prouvable dans ZF, mais l'est dans ZF + formes faibles d'AC), par contre la caractérisation séquentielle de la continuité en tout point pour un espace métrique séparable est prouvable dans ZF.

J'ai appris cette chose-là dans le bouquin de Herrlich à nouveau.

christophe c

Salut Martial, il est possible que Poirot ait juste fait une erreur de frappe tant l'axiome du choix dénombrable est la plupart du temps inutile alors que le CD lui, est omnprésent.

Mais je ne poste pas pour ça en fait:

[small]HS ON : j'ai (heureusement) trouvé un voisin qui va s'occuper de mon apart après mon départ pour le vider entièrement. Or j'ai une tonne de livres de maths que je n'ai jamais lus, que j'ai acheté dans une "sorte de crise" durant plein de samedis de suite chez Gibert vers 2005-2010 (en gros j'ai presque tout Gibert-académique**). Je ne sais pas où tu es en ce moment, mais je sais que tu aimes les livres de maths, donc je te préviens au cas où tu voudrais en récupérer quelques uns. Je sais que tu te balades souvent en voiture, etc...
HS OFF[/small]

Martial

@Christophe : c'est fort probable, effectivement. Faudrait demander à Poirot.

HS ON : Merci d'avance pour ta proposition. Je t'appelle mercredi.
HS OFF.

(Sorry).

christophe c

(tu) (tu) (tu)

Poirot

Oui effectivement, c'est plutôt le choix dépendant qu'on retrouve pas mal !

@Max : Marrant, j'ai justement acheté le livre de Herrlich il y a pas longtemps, il faudra que je le lise.