Une question de divisibilité

epiKx

Bonjour
À quelle condition sur m, n, p a-t-on

m² - np divise np(2m + n + p) ?

Merci d'avance.

AlainLyon

$\exists k\in\mathbb{N}^*$ $np(2m+n+p)=km^2-knp$ soit
$\exists k\in\mathbb{N}^*$ $np(2m+n+p+k)=km^2$ soit
$\exists k\in\mathbb{N}^*$ $m^2$ divise $np(2m+n+p+k)$
et après je sais trouver des conditions suffisantes mais pas des CNS;

AlainLyon

On se donne $m,n,p$ quelconques comme $k$ varie sur $\mathbb{N}$, $2m+n+p+k$
varie sur $\lbrace 2m+n+p+1,2m+n+p+2,\dots\rbrace$ donc pour $k$ assez grand c'est un multiple de $m^2$ indépendamment de $n,p$ et $m$
Donc $(m,n,p)$ quelconques semblent toujours solutions si je n'ai pas trop écrit de bêtises.

depasse

Bonjour,

@AlainLyon, il me semble que tu fais erreur: par exemple,
si $ n=p=1$,
alors $m^2 - np $ divise $np(2m + n + p) \Leftrightarrow m^2 - 1 $ divise $2m +2\Leftrightarrow m\in \{2,3\}$

Cordialement
Paul

babsgueye

@AlainLyon fait erreur parce que les nombres de sa liste ne sont pas multiple de $m^2$ n'importe comment. Le quotient et le dividende ne sont pas indépendants.
Par contre, après avoir établi que $np(2m + n + p + k) = km^2$, il peut résoudre une équation du second degré en $m$, qui aura pour solution :
$m = \dfrac{np + \sqrt{(np)^2 + knp(n + p + k)}}{k}$.
la formule n'est pas jolie jolie, mais on retrouve assez facilement certaines solutions.
Par exemple le cas $n = p = 1$ donne avec $k = 1$, $m = 3$ et avec $k = 2$, $m = 2$.
On voit aussi plus généralement que tout $n = p = k$, donne $m = 3n$ comme solution.

Cordialement.

epiKx

Bonjour à tous,
Merci pour vos réponses. Ne pourrait-on pas passer par le pgcd pour trouver une CNS?
Autrement dit est-ce que le pgcd de 2 polynômes a plusieurs variables d'entiers naturels s'exprime sous la forme d'un polynôme en ces entiers naturels?
Cordialement.