Question : zéros d'un produit
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Bonjour, j'ai une toute petite question. Je voulais montrer que si $\sum_{n\in \mathbb{N}}u_{n}$ converge normalement sur un ensemble $X$, où les $u_{n}$ sont des fonctions de $X$ dans $\mathbb{C}$ telles que $1+u_{n}$ ne s'annule pas alors le produit $\prod_{n=0}^{\infty}(1+u_{n})$ (qui converge normalement, je l'ai montré) ne s'annule pas non plus.
J'ai raisonné comme suit, et je voulais savoir si c'est "décent", parce que ça me semble un peu maladroit.
D'abord, $(||u_{n}||_{\infty})$ converge vers zéro, donc en fixant $x\in X$, il existe un rang $N$ à partir duquel $|u_{n}(x)|<1$ et donc $|1+u_{n}(x)| \geq 1-|u_{n}(x)|>0$.
Je peux alors comparer les produits et passer au logarithme légitimement: $\ln|\prod_{n=N}^{m}(1+u_{n}(x))|\geq \sum_{n=N}^{m}\ln(1-|u_n(x)|)$. En sommant les équivalents de séries à termes constants $\sum_{n=N}^{p}\ln(1-|u_n(x)|) \sim - \sum_{n=N}^{p}|u_n(x)|$, cette dernière étant convergente (d'après l'hypothèse de convergence uniforme, donc simple, de la série).
Comme les $N-1$ premiers termes ne s'annulent pas, leur produit en valeur absolue noté $c>0$ non plus, et on peut passer à la limite dans l'inégalité $|\prod_{n=0}^{p}(1+u_{n}(x))|\geq c \exp(\sum_{n=N}^{p} \ln(1-|u_{n}(x)|))$, où l'on trouve donc $|\prod_{n=0}^{+\infty}(1+u_{n}(x))|\geq ce^{l}>0$.
J'ai raisonné comme suit, et je voulais savoir si c'est "décent", parce que ça me semble un peu maladroit.
D'abord, $(||u_{n}||_{\infty})$ converge vers zéro, donc en fixant $x\in X$, il existe un rang $N$ à partir duquel $|u_{n}(x)|<1$ et donc $|1+u_{n}(x)| \geq 1-|u_{n}(x)|>0$.
Je peux alors comparer les produits et passer au logarithme légitimement: $\ln|\prod_{n=N}^{m}(1+u_{n}(x))|\geq \sum_{n=N}^{m}\ln(1-|u_n(x)|)$. En sommant les équivalents de séries à termes constants $\sum_{n=N}^{p}\ln(1-|u_n(x)|) \sim - \sum_{n=N}^{p}|u_n(x)|$, cette dernière étant convergente (d'après l'hypothèse de convergence uniforme, donc simple, de la série).
Comme les $N-1$ premiers termes ne s'annulent pas, leur produit en valeur absolue noté $c>0$ non plus, et on peut passer à la limite dans l'inégalité $|\prod_{n=0}^{p}(1+u_{n}(x))|\geq c \exp(\sum_{n=N}^{p} \ln(1-|u_{n}(x)|))$, où l'on trouve donc $|\prod_{n=0}^{+\infty}(1+u_{n}(x))|\geq ce^{l}>0$.
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Réponses
Pour te convaincre que ça marche ou pas, tu peux commencer par le cas où les $u_n$ sont constantes sur $X$, c'est-à-dire dans le cas d'une série numérique.
Ta démo m'a l'air bien.