Familles d'ensembles
Bonjour,
Mon livre parle sans plus de précisions de la famille d'ensembles $\{A_i \}_{i \in I}$. C'est donc une application : $i \mapsto A_i, I \rightarrow$ dans quel ensemble ?
J'aurais tendance à dire dans $\bigcup_{i \in I} A_i$. Est-ce cela ? (mais pour que $\bigcup_{i \in I} A_i$ ait un sens, il faut avoir commencé par définir l'application qui définit la famille des ensembles $A_i$, donc on tourne en rond). EDIT : non, ce n'est pas ça : $A_i \notin \bigcup_{i \in I} A_i$.
S'il existe un axiome qui dit que de toute collection d'objets, on peut faire un ensemble, on tourne aussi en rond.
En fait, on a $A_i \subset \bigcup_{i \in I} A_i$, donc on peut dire que l'application est à image dans $P(\bigcup_{i \in I} A_i)$ (l'ensemble des parties), mais on tourne aussi en rond.
Merci d'avance.
Mon livre parle sans plus de précisions de la famille d'ensembles $\{A_i \}_{i \in I}$. C'est donc une application : $i \mapsto A_i, I \rightarrow$ dans quel ensemble ?
J'aurais tendance à dire dans $\bigcup_{i \in I} A_i$. Est-ce cela ? (mais pour que $\bigcup_{i \in I} A_i$ ait un sens, il faut avoir commencé par définir l'application qui définit la famille des ensembles $A_i$, donc on tourne en rond). EDIT : non, ce n'est pas ça : $A_i \notin \bigcup_{i \in I} A_i$.
S'il existe un axiome qui dit que de toute collection d'objets, on peut faire un ensemble, on tourne aussi en rond.
En fait, on a $A_i \subset \bigcup_{i \in I} A_i$, donc on peut dire que l'application est à image dans $P(\bigcup_{i \in I} A_i)$ (l'ensemble des parties), mais on tourne aussi en rond.
Merci d'avance.
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Réponses
D'un autre côté, une fonction est un cas particulier d'une relation (relation = ensemble de couples appartenant à un produit cartésien), et inversement tout ensemble de couples (sans plus de précisions, je cite mon livre) est un sous-ensemble du produit cartésien de deux ensembles (c'est une démonstration), qu'on peut restreindre aux projections (1ère et 2ème). On tient là l'ensemble d'arrivée (2ème projection). La 1ère projection est le domaine (ensemble d'indices). Cela colle. Merci encore.
Mais aussi, si on a des objets, on peut décréter l'ensemble de ces objets. Mais on ne peut l'utiliser ici car on tournerait en rond.
En fait, parfois cette famille t'est donnée non pas sous la forme d'une application $(A_i)_{i\in I}$ (donc d'un ensemble) mais sous la forme d'une formule, qui te dit "comment calculer $A_i$ en termes de $i$". Dans ce cas, l'existence de $\{A_i, i\in I\}$ va (en général) nécessiter cet axiome (qui est un des classiques de ZF hein, "pas d'inquiétude")
Par exemple, si je te dis "$\aleph_n$ est le $n$-ième cardinal", je peux tout à fait écrire cette formule de manière à déterminer entièrement $\aleph_n$. Mais, sans remplacement, il n'est pas donné que je puisse en déduire que $(\aleph_n)_{n\in \mathbb N}$ est une famille (i.e. une application, une fonction).
Ta confusion initiale venait peut-être de là.
famille veut dire :
L'ensemble des indices de $f$ est $a:=\{x\mid \exists y: (x,y)\in f\}$
On peut dire alors que $f$ est une famille indicée par $a$.
famille et fonction sont synoyme. Pour une même $f$ qui est une famille, donc une fonction:
domaine de $f = $ensemble des indices de la famille $f =_{AuLycee} $ ensemble de définition de la fonction $f$
PS : il est encore possible de modifier le deuxième énoncé de la manière suivante
Maxtimax, je n'ai pas encore vu l'axiome de remplacement.
christophe c : ok.
Thierry Poma : dans la théorie des ensembles, la distinction entre fonction et application est que pour une application, on précise l'ensemble d'arrivée, ce qu'on ne fait pas forcément pour une fonction ?
Pour les deux (fonctions et applications), qui sont toutes deux des relations, l'ensemble de départ peut être : soit défini a priori (dans ce cas, il faut préciser qu'une fonction envoie chaque argument (indice) sur une seule image), soit obtenu a posteriori comme le domaine de la fonction (dans ce cas, il faut préciser que si $(x,y)=(x,z)$ alors $y=z$) ?