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Séries de Fourier

Bonjour à tous,

Soit $ f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{C} $ la fonction définie par, $$ f(t) = (a_5 e^{ - 2 \pi i t } + a_4 e^{ 2 \pi i t } ) (a_3 e^{ - 2 \pi i t } + a_2 e^{ 2 \pi i t } ) ( a_1 e^{ - 2 \pi i t } + a_0 e^{ 2 \pi i t } ) ,
$$ où, $ a_0 , \dots , a_5 \in \mathbb{R} .$
La fonction $ f $ est périodique, de période $ 1 $.
Comment calculer la série de Fourier de $ f $ ?

Merci d'avance.

Réponses

  • En ouvrant un bouquin de deuxième année.
  • Je comprends, après avoir fini l'algèbre mathématique tu attaques l'analyse.
    Hâte de voir la preuve de RH aux enchères.
  • @RLC, @HT,
    Je fais une petite révision des séries de Fourier pour m'attaquer aux EDP. :-)
  • Tu fais bien de me le dire, j'allais lire un cours sur le sujet. J'attends donc que tu ne le rendes obsolète en montrant que le théorème fondamental de l'analyse est faux.
  • Bonjour Pablo.

    Tu devrais commencer par apprendre ce que sont les séries trigonométriques, puis repérer le lien avec les séries de Fourier. Donc ne pas venir poser des questions avant d'avoir fait ton propre travail de réflexion !

    Tu aurais vu tout seul que la série de Fourier que tu demandes s'obtient en une ligne par un bête développement. A moins que tu n'aies pas le niveau de terminale de lycée ...
  • On fait des révisions en lisant dans un bouquin.
  • Bonjour @Pablo J'aime bien ta question. Comment calculer la série de Fourier de $f$ ?

    C'est une blague ?

    Si je te donne $f(x)=(x^2+1)(x-1)$. Peux-tu m'expliquer comment tu fais pour développer $f$ en série entière ?
  • Merci à tous ceux qui m'ont répondu, en particulier, à @bd2017.
    Oui @bd2017, $ f $ est un polynôme trigonométrique, et il suffit de développer $ f $ pour obtenir sa série de Fourier.
    Merci @bd2017. :-)
  • Bd17, un dse de ta fonction va être dur pour lui.... Car il n'y en a pas.

    Edit, au temps pour moi les termes de degré supérieur ou égal à 4 seront nuls.
  • DSE ou DSF ?
    Mais peut-être ne parle-t-on pas de la même fonction.
  • Tu es vraiment sûr, Julian ????

    Cordialement.
  • Bonjour
    Si on développe, la fonction f est définie par $f(x)=1+x-x^2+x^3.$ Quel est le développement en série entière de $f.$ Si il n'y a a pas de DSE pourquoi?

    Autre exercice: soit $g$ définie par $ g(t)=\cos(t).$ Déterminer le développement en série de Fourier de g sur l'intervalle $[-\pi,\pi]?$ A faire en moins d'une demi-heure. :-)
  • Rayon de convergence...
  • @julian Développez votre preuve que cette fonction n'admet pas de DSE, je pense ne pas être le seul à ne pas comprendre ce que vous voulez dire à propos du rayon de convergence
  • A partir du degré 4, 0 sur 0....forme indéterminée ?.
  • Je crois que vous avez oublié ce qu'est un DSE
  • Si j'ai bien compris: Quand on parle d'un développement en série entière d'une fonction Il faut préciser un point et un voisinage de ce point (généralement un disque ouvert de centre ce point).
    NB: Je considère que la fonction considérée est définie sur un ouvert de $\mathbb{C}$.
  • La fonction $f(z)=1+z-z^2+z^3$ admet un développement en série entière en tout point $z$ complexe.
    Le développement en série entière de $f$ au voisinage de $0$ est $\displaystyle 1+z-z^2+z^3+\sum_{k=4}^{\infty} 0\times x^k$. Le rayon de convergence de cette série est infini.
  • À grenouille : je dois avouer que je suis un peu rouillé sur le sujet, va falloir que j'arrête le pastis...
  • Bonjour,
    Pourquoi dans une série de Fourier le premier terme est, suivant les ouvrages, a0 ou a0/2 ?
    Merci pour votre réponse
  • Quel est l'intérêt de l'une ou l'autre formulation?
  • Dans un cas on choisit une formule générale pour définir tous les $a_n$ et ça oblige à utiliser $a_0/2$ dans la somme car le terme général n’est pas utilisable en l’état.

    Dans l’autre cas on choisit de définir séparément $a_0$ des autres $a_n$ et ça permet d’utiliser un terme général pour la somme.

    Si moi-même je ne m’emmêle pas les pinceaux, c’est ça le tout petit noeud du problème.
  • Désolé mais je n'ai toujours pas bien compris l'intérêt de l'un ou l'autre cas. Peut-être qu'un des deux intéresse plus la physique et l'autre les maths? Je ne vois pas du tout les raisons de cette différence de notation...
  • Bonjour.

    Aucune des deux n'a plus d'intérêt que l'autre, ce qui explique l'existence des deux. Tu en apprends une, puis tu te débrouilles (quitte à interroger l'examinateur qui te demande "combien vaut $a_0$ ?").

    Cordialement.
  • Je ne suis pas convaincu mais merci tout de même. Je vais chercher sur le net.

    Cordialement.
  • On a à peu près les mêmes discussions quand on se demande pourquoi on a nommé $\pi$ la demi-période de $t\mapsto e^{it}$ et non pas la période.
    Tout est histoire de notation.
    Pour comprendre, essayer de voir tout ce que cela implique dans l’écriture des théorèmes et de leurs preuves.
    Ça va sûrement permettre de répondre à la question.
  • Tu as raison, je pense que c'est la bonne piste!

    Merci à vous deux
  • C'est juste une convention. Selon le choix, certaines formules vont être plus ou moins compliquées, mais il n'y a pas de choix évident, et effectivement ce n'est guère important.

    Il existe par exemple de nombreuses définitions de la transformée de Fourier, qui sont toutes équivalentes d'un point de vue mathématique, mais qui vont rendre également certaines formules plus ou moins compliquées.
  • Pour préciser :
    * avec $a_0$, le passage aux coefficients complexes est immédiat : $c_0 =a_0$, mais il faut une formule différente pour $a_0$.
    * avec $\frac{a_0} 2$, il y a une seule formule pour les $a_i$, mais une formule différente pour $c_0$.
    Bilan : Ce qu'on gagne d'un côté se perd de l'autre.
  • Le point de vue naturel pour les séries de Fourier est celui de la décomposition d'un élément d'un espace de Hilbert dans une base de Hilbert de celui-ci. Pour la famille des $(e_n)_{n \in \mathbb Z}$, base hilbertienne notoire de $L^2(\mathbb T)$, le coefficient d'indice $0$ de $f$ est donc naturellement $$a_0(f) := \langle f, e_0 \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2 \pi} f(t) \,\mathrm{d}t.$$

    La convention "$a_0/2$" a certainement un intérêt historique, mais ne me paraît pas naturelle ni utile.
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