Intérieur et adhérence

SERGE_S

@ OShine : on vient de te dire que F est une droite de R³. Si tu as une suite de points de F qui converge vers un point p de R³ est-ce que p appartient nécessairement à F ou pas ? Conclusion.

OShine

Je ne sais pas faire de limite de vecteurs, je n'ai pas encore étudié cette notion.

[Utilisateur supprimé]

Pourtant tu étudies des exercices de topologie depuis plusieurs jours maintenant, et pour prouver que certains espaces sont fermés, tu as bien dû utiliser la caractérisation séquentielle des fermés, non ? bd2017 t'en a même parlé trois messages plus haut.
Si au lieu de parler de limite, on parle de convergence, tu as plus d'idées ?
Tu as forcément vu ces notions quand tu as passé le CAPES.

Homo Topi

En fait, le dernier message de bd2017 a dit certaines choses de manière "pas assez frappante" à mon goût.

Dans $\R^n$, le théorème qui dit que toutes les normes sont équivalentes est un résultat HYPER puissant. Il dit qu'on peut déterminer si une suite (de vecteurs) converge ou non avec la norme de notre choix. Donc on a un très grand luxe ici, puisqu'on peut choisir de travailler avec n'importe quelle norme.

Pour reprendre ce qu'il disait, on a donc $X_n = (0,x_n,0) \in F$ qui converge par hypothèse vers $X=(a,b,c)$. Donc on sait que $\|X_n - X\| \longrightarrow 0$, et ce pour n'importe quelle norme. On sait que $X_n-X = (-a,x_n -b,-c)$. Donc on sait que $\|(-a,x_n-b,-c)\| \longrightarrow 0$. Quelle norme que tu connais sur $\R^n$ pourrait être pratique pour traduire ça en $X \in F$, c'est-à-dire en $a=c=0$ ? Réfléchis un peu, tu vas trouver.