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Intérieur et adhérence

Bonjour
Un exercice non étoilé cette fois ci. Mais j'ai du mal à appliquer le cours.

Soit $E=\mathcal C([0,1],\R)$. On note $F$ le sous-espace vectoriel $E$ formé par les fonctions s'annulant en $0$ et $1$. Déterminer l'intérieur et l'adhérence de $F$ pour les normes un et infinie :
$\displaystyle N_{\infty}(f)=\sup_{t \in [0,1]} |f(t)|\quad $ et $\quad N_1 (f)=\displaystyle\int_{0}^1 |f(t)| dt$


Je cherche l'intérieur de $F$ pour la norme infinie.
On a $f$ appartient à l'intérieur de $F$ si et seulement si il existe $r>0$ tel que $B(f,r) \subset F$.
Mais après je ne trouve pas.
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Réponses

  • Tu as une inclusion (enfin deux, une pour chaque norme) à montrer. Comment montre-t-on une inclusion ?
  • Est-ce que tu sais résoudre la question de l'intérieur en remplaçant $E$ par $\R^3$ muni de $N_\infty((x,y,z))=\max(|x|,|y|,|z|)$ et $F$ par $\{(x,y)\mid x=0=z\}$ ?
  • Tu peux deviner le résultat géométriquement : c'est très ambitieux d'essayer d'inclure une boule de rayon non nul dans un plan (sauf si ce plan est l'espace tout entier). Après en dimension infinie il arrive des choses étranges, mais quand même on peut supposer que l'intérieur est vide, au pire la démonstration nous donnera tort.

    Si tu développe ta dernière ligne, ça donne :
    Pour tout $g$ telle que $N(f-g) \leq r$, $g(0)=0$ et $g(1)=0$.

    Pour la norme infinie tu supposes que l'intérieur est non vide et donc que il qu'existe $f$ et $r$ tels que blablabla, tu poses $g(x)=f(x)+r$ et ça te donne $N(f-g)=r$ (donc $g$ appartient à la boule) et $g(0)=g(1)=r \neq 0$ (donc $g$ appartient pas à ton ensemble).
    Comme prévu on arrive à une absurdité, donc l'intérieur est vide pour la norme infinie.

    Pour la norme 1 même supposition, même $g$, même absurdité.
  • @Homo Topi
    Le problème est que je ne connais pas la réponse à l'avance, donc comment montrer que $Int(F)= \cdots$ alors que je ne connais pas la réponse ?

    @Math Coss
    J'applique la définition mais je ne vois pas comment le déterminer concrètement :-S

    $X=(x,y,z)$ appartient à l'intérieur de $F$ s'il existe $r>0$ tel que pour tout $Y=(x',y',z') \in \R^3$ $\max( |x-x'|,|y-y'|,|z-z'|) <r \implies x=0=z$
  • Un dessin pourrait aider. Tu vois $\R^3$, n'est-ce pas ? Qu'est-ce que $F$ ? Comme le dit Victor2N plus haut, peux-tu imaginer mettre une boule dans $F$ ?
  • Ce n'est pas grave si tu ne connais pas le réponse. Tu essaies quelque chose, et si ça n'aboutit pas ou si tu tournes en rond, il y a peut-être une raison.
  • Je n'ai pas trop compris le message de Victor2N.

    @MathCoss
    $F$, c'est l'ensemble des points $(0,y,0)$ , c'est la droite vectorielle $Vect(0,1,0)$
    Je ne sais pas, je ne connais pas la forme des boules dans $\R^3$ :-S
    Ca dépend de la norme en plus non ?

    Et avec les espaces de fonctions, je ne vois rien graphiquement.
  • Mon message était sensiblement la même idée mais exprimée avec moins de notations, et une solution.

    Pour la norme qu'il t'a proposée une boule c'est un cube.

    La forme de la boule dépend effectivement de la norme, mais tu sais peut-être que en dimension finie les normes sont équivalentes, donc en topologie tu peux tout à fait t'imaginer une simple sphère remplie (qui correspond à la norme 2, celle qu'on utilise dans la vie de tous les jours).

    Personne ne voit rien avec les espaces de fonctions, ni même ne serait-ce que avec $\R^n$, c'est simplement une analogie pour essayer de te donner l'intuition.
  • OShine : comment ça, tu ne connais pas la forme des boules dans $\R^3$ ? Je me souviens que tu avais traité un exercice où tu étais censé dessiner les boules unité dans $\R^2$ pour les normes $1$, $2$ et $\infty$. Je ne crois pas que tu l'avais traité avec l'aide du forum, mais il faut que tu fasses cet exercice correctement dès maintenant ! Dans $\R^3$, après, ça "marche pareil" mais avec une dimension de plus.

    Alors avant de faire l'exo de Math Coss, que je te conseille vivement de traiter évidemment, il faut que tu te donnes ce sous-exercice : les trois boules unité dans $\R^2$. Tu verras qu'il suffit de l'écrire et que ça se fait assez facilement, à condition de réussir à ne pas paniquer. Traite-le ici en premier lieu, après tu pourras faire l'exo de Math Coss plus facilement.
  • En dimension finie les normes sont équivalentes. Donc toute boule ouverte de rayon non nul pour une norme est incluse dans une boule ouverte pour une autre norme. Ce qui fait que les ouverts sont les mêmes quelque soit la norme. Nous avons la même topologie.

    Ainsi pour l'exemple de $R^3$ on essayer d'imaginer s'il existe une boule (de rayon non nul) de centre un point (0,y,0) de la droite et telle que cette boule soit incluse dans la droite.

    Mais attention @Victor, pour les espaces de fonctions on ne peut pas dire que personne n'y voit rien.

    En effet une fonction continue telle que $f(0)=f(1)=0$ ça se dessine. Et une fonction $g$ continue tel que
    $||f-g||_\infty$ ça se dessine aussi. Dessiner une boule peut être pas mais une fonction g proche de f, oui.

    Maintenant il faut mettre ça en place. Traiter d'abord le cas $E=\R^3$
  • @Homo Topi
    Je l'ai déjà traité les boules unités dans $\R^2$ dans un brouillon, je sais faire. Je n'ai pas envie de reperdre 30 min à faire ça.

    Par contre dans $\R^3$ je n'ai pas compris pourquoi c'est un cube.

    Pour trouver l'intérieur je n'y arrive pas ni avec l'exemple de Math Coss ni avec celui de l'exercice. Je ne sais pas comment faire, la méthode n'est pas expliquée dans le livre.

    Je ne vois pas le rapport entre $\R^n$ et l'espace des fonctions pour pouvoir deviner la réponse de l'intérieur de $F$.
  • Dans $\R^3$ tu ne comprends pas pourquoi c'est un cube, mais tu dis que tu sais faire dans $\R^2$. Alors adaptée dans $\R^2$, la norme de Math Coss, sa boule unité c'est quoi ?
  • Mais, OShine ... Si tu as compris la forme des boules dans le plan, tu peux extrapoler pour comprendre ce qu'elle va donner dans l'espace tout de même, un petit peu de sérieux !
    Tu dis ne pas comprendre comment on peut répondre à la question parce que tu n'as pas la méthode, et ça c'est à mon avis audible une fois qu'on a essayé de répondre avec les définitions du cours et les théorèmes éventuels qu'on connait (ou leurs démos, pour certaines). Mais là, tu as écrit la définition formelle d'un point de l'intérieur, ... et puis tu n'es pas allé plus loin ! C'est pour ça que Math Cross, Homo Topi, etc ... te donnent des conseils pour concevoir d'autres exemples: ça permet de te donner des idées de stratégie, en plus de développer une intuition (même si la dimension infinie est un peu différente).
  • $F$ est un sous-espace vectoriel et tu cherches à montrer qu'une boule est inclue dedans (cf. ton post original).

    On essaye de te faire sentir, en dimension 3 parce que c'est plus facile à se représenter, qu'une boule de rayon non nulle ne peut pas être inclue dans un sous-espace vectoriel (autre que l'espace tout entier).

    Tu sais que dans $R^2$ pour la norme infinie la boule unité est un carré, tu n'as qu'à te dire que c'est un cube dans $R^3$ par analogie.
  • On va changer un tout petit peu l'exercice. On va faire un QCM.
    L'énoncé de l'exercice est toujours le même : énoncé

    Mais c'est un QCM, avec 3 réponses possibles :
    - L'intérieur de F est F
    - L'intérieur de F est l'ensemble vide
    - Ni l'un ni l'autre.

    Quelle est ta réponse ?

    Et sinon, on peut revenir à des notions 'non mathématiques'. On a l'Amérique du Nord et l'Amérique du Sud. On a la frontière entre ces 2 pays/continents. Tiens, zut... je suis allé trop vite. On a la frontière de l'Amérique du Nord, qui est une ligne tordue. On a la frontière de l'Amérique du Sud, qui est aussi une ligne tordue. Et en fait, ces 2 frontières sont identiques.
    Est-ce que par hasard, cette propriété serait vraie aussi en maths ? Comment la traduire en langage mathématique ?
  • @Lourran
    Aucune idée, pour l'instant cet exercice est du chinois pour moi.
    Comment je peux savoir si l'intérieur de $F$ sera vide, égal à $F$ ou autre ?

    @Polka
    Ok mais je ne vois pas comment faire avec ces infos, c'est trop théoriques, et je n'ai jamais vu ce genre de raisonnement.

    $f \in Int(f)$ si et seulement si $\exists r>0 \ \ \forall g \in E \ \ N_{\infty}(f-g)=\sup_{t \in [0,1]} |f(t)-g(t)| <r$

    Ici je bloque totalement.
  • Tu n'as pas répondu à ma 2ème question. Tu tiens vraiment à ce que les maths restent un domaine totalement abstrait, tu refuses tout support concret, pour que ça reste compliqué.
    Je respecte ton choix, je n'insiste pas.
  • @OShine quelle que soit la norme le résultat est le même donc pas besoin de se fixer une norme précise pour cette question.

    Un exemple dans $\R^2$ montre ce qu'il se passe et par chance il se passe la même chose en dimension quelconque : si tu prends $F$ un sous-espace vectoriel de $\R^2$ autre que $0$ et $\R^2$ alors $F$ est de dimension 1, c'est une droite quoi.

    À présent si on choisit un vecteur de $c\in F$ et qu'on considère une boule centrée en $c$ est-ce que selon toi on arrive à faire entrer la boule dans $F$ si on diminue le rayon (voir graphique ci-dessous si ce n'est pas clair...) ?

    La réponse devrait être évidente. Essaie d'en déduire une démonstration dans le cas général avec une norme quelconque.125194
  • Lourran le problème est que je ne comprends pas le rapport avec l'exercice.

    $Fr(A)=Fr(B)$ si et seulement si $Adh(A) \backslash Int(A) = Adh(B) \backslash Int(B)$
  • @Raoul.S
    Non la boule ne va pas rentrer.
    Mais comment on sait que dans l'espace des fonctions ça va se passer comme dans $\R^2$ ?
  • Car lorsque tu vas essayer d'écrire un preuve dans $\R^2$ par exemple, les arguments que tu vas utiliser seront généraux et s'appliqueront en fait à une dimension quelconque. Tu ne vas pas utiliser les caractéristiques propres de $\R^2$ en fait ni mêmes celles d'une norme particulière. Enfin si tu rédiges la preuve que je pense... qui a déjà été rédigée d'ailleurs mais tu ne l'as pas comprise.
  • Ah d'accord.

    Il faut montrer que $Int(F)= \emptyset$.

    Soit $f \in F$ et $r>0$. Il faut montrer que $B(f,r) \not\subset F$ soit $\boxed{g \in B(f,r) \ \ \text{ET} \ \ g \notin F}$

    Or $B(f,r)=\{ g \in E \ | \ N_{\infty} (f-g) <r \}$. Il faut donc trouver un élément $g \in E$ tel que $N_{\infty} (f-g) <r $ et $g \notin F$.

    Posons $g=f+\dfrac{r}{2}$ alors $N_{\infty} (f-g)= N_{\infty} (g-f)=N_{\infty} ( \dfrac{r}{2})=\dfrac{r}{2} <r$

    Montrons que $g \notin F$. Comme $\forall x \in [0,1] \ g(x)=f(x)+\dfrac{r}{2}$ alors $g(0)=g(1)=\dfrac{r}{2} \ne 0$

    Déterminons l'intérieur pour la norme 1 :
    Montrons que $N_1$ est dominée par $N_{\infty}$

    On a $N_1(f)=\displaystyle\int_{0}^1 |f| \leq \displaystyle\int_{a}^b N_{\infty} (f) =N_{\infty} (f) $

    On a montré $\boxed{N_1(f) \leq N_{\infty} (f)}$

    Mais je ne trouve pas de résultat dans le cours qui permet de déterminer l'intérieur de $F$ pour la norme $1$ sachant qu'elle est dominée par la norme infinie :-S
  • @OShine 8-)

    Tu viens de montrer que pour la norme $N_{\infty}$ ton fermé $F$ est d'intérieur vide (bon je ne sais pas si tu t'es "inspiré" par Victor2N ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2280914,2280928#msg-2280928) quoi qu'il en soit est-ce que tu as utilisés les propriétés propres de la norme infinie dans ta preuve ? Ou est-ce que la preuve que tu viens de rédiger s'applique en fait pour une norme quelconque ?
  • Je ne sais pas si ça s'applique à une norme quelconque. Mais si on refait le raisonnement avec la norme $1$ donnée par l'énoncé sur l'espace des fonctions continues ça fonctionne car $N_1(r/2)=r/2$.

    Dans $\R^n$, $N(r/2)$ n'est pas définie car $r/2$ n'est pas un vecteur de $\R^n$.

    Il n'y a pas un résultat avec les normes dominées ?
  • Super OShine pour l'avant dernier post. Attention, si tu y penses en terme d'espace vectoriel normé $(E, || \cdot ||)$, de façon assez géométrique, tu as réussi à trouver un vecteur (ici, la fonction constante égale à $x \mapsto \frac{r}{2}$) qui te fait sortir du sous espace vectoriel $F$, en restant dans la boule que tu avais choisie.
    Et en fait, ce que te suggères raoul.S, c'est que ce raisonnement est valable indépendamment de la norme considérée ! Pourquoi ? (un dessin, par exemple pour $F=\mathbb{R}^{2}$ dans $E=\mathbb{R}^{3}$ aide énormément, c'est ce que t'ont proposé plusieurs membres du forum dans la discussion).
  • Ok merci Polka je le fais dans $\R^3$

    Oui je vois dans ma tête la boule sortir du plan.

    Mais j'ai du mal à comprendre théoriquement pourquoi le raisonnement fonctionne dans $\R^n$ avec des vecteurs au lieu de fonctions.

    Il y a un problème dans ton exemple, on ne peut pas additionner un vecteur de $\R^2$ avec un vecteur de $\R^3$. $\R^2$ n'est pas inclus dans $\R^3$... Je rectifie.

    Par exemple, $E=\R^3$ et le plan vectoriel $F=\R^2 \times \{0 \}$

    Soit $u=(x,y,0) \in F$ et $r>0$. Si on pose $v=(x-\dfrac{r}{2},y-\dfrac{r}{2},\dfrac{r}{3})$ on a $u-v=(\dfrac{r}{2},\dfrac{r}{2},\dfrac{r}{3})$ et $N_{\infty}(u-v)=\dfrac{r}{3} <r$ mais $v \notin F$ car $\dfrac{r}{3} \ne 0$

    J'ai regardé juste une partie du corrigé après un jour de recherche, je ne comprends pas le passage :

    $N_1$ est dominée par $N_{\infty}$ donc si l'intérieur de $F$ est vide au sens de $N_{\infty}$, il est également vide au sens de $N_1$.

    J'ai cherché dans le cours, je ne vois pas ce résultat. J'ai juste 2 résultats :

    Si $N_1$ est dominée par $N_2$ alors :

    1) Si une partie est bornée pour $N_2$ elle l'est aussi pour $N_1$.
    2) Si une suite converge vers $l$ pour $N_2$, alors elle converge vers $l$ pour $N_1$.
  • Et bien, toute boule de centre $x$ pour la norme $N_\infty$ est incluse dans une boule de $x$ pour la norme $N_1$ et puis fait un dessin.

    P.S D'autre part, le corrigé utilise la domination mais c'est un peu ballot tout de même car le résultat est vrai quelque soit la norme.
  • @OShine une précision sur ton corrigé : le corrigé est naturellement juste, la différence est qu'il n'utilise pas le fait que $F$ est un sous-espace vectoriel strict (facile à vérifier) et par conséquent son intérieur est vide.

    Le résultat "important" est le suivant : dans un espace vectoriel normé, tout sous-espace vectoriel strict est d'intérieur vide. Ça correspond bien à notre intuition dans le cas de la dimension finie. Si tu prends un plan ou une droite dans $\R^3$, leur intérieur est naturellement vide, ils sont "plats" quoi.
  • @RaoulS
    Oui ça se voit sur des exemples dans $\R^2$ et $\R^3$.
    Dommage que ce résultat n'est pas énoncé dans le cours.

    Par contre si on a $N_1 \leq N_{\infty}$ j'essaie de démontrer que si la frontière de $F$ est vide pour $N_{\infty}$ alors elle est vide pour $N_1$.

    Je n'y arrive pas.
  • Il y a probablement une raison à ça, et je suppose que tu t'y prends de la mauvaise façon, alors il faudra essayer autre chose.

    Un truc que tu peux montrer (bon, ça se voit rapidement) c'est que si $N$ et $N'$ sont deux normes sur un espace $V$, telles que $N \leqslant N'$, alors si je note $B$ et $B'$ les boules respectives, alors $B'(x,r) \subset B(x,r)$. Du coup, par rapport à ce que tu veux montrer, tu as la mauvaise inégalité : c'est pour ça qu'il faut un autre argument.
  • (Petit aparté, histoire de reposer le rameur quelques minutes...)
    Bonjour,

    Juste pour info et dans un souci "culturel" pour OS, il y a une raison plus "fondamentale", plus large, qui explique q'un ssev strict est d'intérieur vide. Donc adieu l'ev normé, et même la métrique (adios les boules et consorts...).

    (1) Si (G;+) est un groupe topologique, alors tout sous-groupe d'intérieur non vide est un ouvert-fermé.

    On en déduit que :

    (2) Si (G;+) est un groupe topologique connexe, alors tout sous-groupe strict est d'intérieur vide.

    Le cheminement de la démonstration de (1) est plutôt simple, s'appuyant sur le définition de groupe topologique (les applications x->-x et (x,y)->x+y sont continues), l'utilisation des classes et le "transport" des voisinages, grâce auxquels on montre d'une part que tout sous-groupe ouvert est aussi fermé, et d'autre part que tout sous-groupe d'intérieur non vide est ouvert.

    Si E est un ev normé, alors (E;+) est un groupe topologique, banalement connexe puisque convexe, et tout sous-espace strict est un sous-groupe strict, donc (2) s'applique.

    Mais sinon, si on souhaite se restreindre au cadre du post et ne pas faire de topologie, on peut se contenter de cette autre démo, qui contient bien peu de manipulations :

    E est un ev normé ; soit F un sous-ev de E.
    On suppose que F est d'intérieur non vide.
    Ainsi F contient une boule ouverte B.
    Cela implique que F contient une boule ouverte B0 centrée en 0 (là on retrouve le "transport"..).
    Or toute boule ouverte centrée en 0 est génératrice de E tout entier (c'est "évident").
    Donc a fortiori, F génère E.
    Donc F=E.

    .
  • Peut-être que tu pourrais regarder si $F$ est fermé ou non dans $E$ pour $\mathcal{N}_{\infty}$ d'abord, puis pour $\mathcal{N}_{1}$ ?

    De façon plus générale (si je dis une bêtise, corrigez-moi), c'est l'équivalence des normes (c'est à dire une minoration et une majoration) qui permet de dire dans un evn qu'on dispose des mêmes ouverts, et donc des mêmes fermés.
    Ici, on a $\mathcal{N}_{1}\leq \mathcal{N}_{\infty}$, mais peut-on avoir $m\mathcal{N}_{\infty}\leq \mathcal{N}_{1}$ (pour un $m>0$) ?

    EDIT: écoute d'abord les autres, si on est trop nombreux à te poser des questions tu vas abandonner.

    PS: Zig, intéressante intervention, c'est clairement d'un autre niveau. Peut-être un peu dommage que tu vendes la démo dans un evn pour OShine, mais bon.
  • @RaoulS
    Je pense que si le corrigé n'utilise pas le résultat que tu énonces, c'est qu'il est hors programme en MP.

    @Homo Topi
    Je pense avoir trouvé une démonstration.

    On a $N_1 \leq N_{\infty}$ . Montrons qui si l'intérieur de $F$ est vide pour $N_{\infty}$ alors il est vide pour $N_1$.

    Raisonnons par contraposée. Supposons que l'intérieur de $F$ soit non vide pour $N_1$.

    Alors il existe $x \in Int(F)$ au sens de $N_1$, il existe donc $r>0$ tel que $B(x,r) \subset F$.

    Il existe $r>0$ tel que $\forall y \in E \ \ N_{\infty} (x-y) <r \implies y \in F$

    Mais $\forall y \in E \ \ N_1(x-y) \leq N_{\infty}(x-y) <r$ ce qui permet de conclure :

    Il existe $r>0$ tel que $\forall y \in E \ \ N_{1} (x-y) <r \implies y \in F$

    Donc $B(x,r) \subset F$ au sens de $N_1$ et $F$ est d'intérieur non vide au sens de $N_1$.
  • Je ne suis pas sûr de ma démonstration.
  • OShine a écrit:
    Je pense que si le corrigé n'utilise pas le résultat que tu énonces, c'est qu'il est hors programme en MP.

    Ce n'est pas honnête intellectuellement de dire ça, OShine, et tu le sais.
  • Tu ne l'auras pas sur le terrain de l'honnêteté. Il faut feinter, un peu comme dans Kaiji.

    Arrête avec tes éternelles limites du programme étanches. Ça ne t'apportera rien. Tu penses qu'un prof de sup va dire "ah non non on résout pas ce exercice il va vous apprendre un résultat pas explicitement au programme" ?
  • @Polka
    Si le livre utilise des résultats qui ne sont pas dans le cours, ça fait perdre énormément de temps à l'étudiant.

    Regarde l'exemple de mon problème avec les normes dominées. Ils utilisent un résultat non présent dans le cours, et ça me bloque depuis hier.

    @Zig
    Toute boule ouverte centrée en $O$ génère $E$ ? Ce n'est pas évident pour moi.
  • Dans ta démo, tu tournes en rond et conclus l'inverse de ce que tu voulais montrer (puisque tu raisonnes par contraposée): il te faut prouver qu'il existe une boule pour la norme infinie inclue dans $F$. Montre ce que tu proposes HT, tout deviendra en théorie plus clair.
  • @OShine

    Pour t'orienter sur : "Toute boule ouverte centrée en $0$ génère $E$ ":

    Soit $r>0$ le rayon de la boule.
    Pour $x\neq0$, que peut-on dire de $y=\frac{r}{2}\frac{x}{\left\Vert x\right\Vert }$ ?
    .
  • @Zig

    $||y||= r/2$ donc $y \in B(0,r)$ mais je ne vois pas comment en déduire que $B(0,r)$ génère $E$.
  • J'en connais un qui n'a toujours pas fait de dessin ! C'est pas bien monsieur OShiiiiiine !
  • Montrons que $B_{\infty} \subset B_1$ comme le suggèrent Bd2017 et Homo Topi.

    Soit $r>0$ et $B_{\infty} (x,r)$.

    Soit $y \in B_{\infty} (x,r)$. Alors $N_{\infty}(y-x) <r$. Mais $N_1 \leq N_{\infty}$ donc : $N_{1}(y-x) <r$

    Ainsi, $y \in B_1(x,r)$

    Le reste n'est qu'une évidence, avec un dessin. Si l'intérieur est vide pour $N_{\infty}$, on ne pourra pas inclure de boule encore plus grande au sens de l'inclusion.
  • OShine écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2280914,2281296#msg-2281296
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Il s'agit de montrer que tout vecteur est combinaison linéaire d'éléments de $B(0,r)$.
    Or pour tout $x$ on a $x=\frac{2\left\Vert x\right\Vert }{r}y$ avec $y\in B\left(0,r\right)$ ...
  • Zig merci B-)

    Pour déterminer l'adhérence de $F$, comment avoir l'intuition du résultat ?
  • Pour l'adhérence, il faut déjà se demander si F est fermé (et ce pour chacune des normes, car en dimension infinie, toutes normes ne sont pas équivalentes a priori). Si c'est le cas, on répond vite à la question.
    Si F n'est pas fermé, se souvenir que son adhérence est aussi un sous espace vectoriel...
  • OShine a écrit:
    Comment avoir l’intuition du résultat?

    Comme ceci.
  • Bonne question.

    Attention d'abord tu parles de $E=\R^3$ ou de $E=C([0,1],\R).?$

    1. Commences par $E=\R^3$ et $F=vect(0,1,0).$ F est donc une droite de $\R^3.$ Toutes les normes sont équivalentes (tu n'as pas à te soucier de la norme).

    Pose toi la question F est-il fermé (du point de vue d'un dessin) ? Ou alors imagine une suite de points de F qui converge. La limite peut-elle être en dehors de F?

    Tu peux aussi regarder le complémentaire de F....Quel-est-il? Quel est la frontière du complémentaire...

    Une fois que tu as une idée tu peux attaquer la démo.

    2. Pour $E=C([0,1],\R)$ on verra après.
  • Zig, j'ai trouvé ton petit aparté sur les groupes topologiques intéressant, mais c'est probablement encore hors de portée pour OShine. Lui, il s'intéresse aux espaces vectoriels normés du programme de deuxième année, la topologie générale et les groupes topologiques c'est un cran plus loin... mais c'est marrant, je m'étais même amusé à travailler la preuve de l'existence et l'unicité de la mesure de Haar dans un groupe localement compact pour donner un sens au chapitre 4 du bouquin de Serre sur les représentations (extension aux groupes compacts). Vu que j'aime bien la théorie de Lie, je ressentais le besoin de savoir faire ces choses-là.

    D'ailleurs, pour recouper un peu avec ce sur quoi travaille OShine, et pour alimenter la curiosité de potentiels lecteurs silencieux qui sont entre la Licence et le Master, la topologie des espaces vectoriels normés finit par revenir dans l'étude des représentations de groupes non finis. Là où pour les groupes finis, les représentations (complexes, j'entends) "les plus intéressantes" sont de dimension finie, quand on sort de ce cadre, on perd rapidement ce luxe-là. Les espaces qui deviennent des "bons" espaces de représentation sont les espaces de Hilbert, dont la topologie est pour ainsi dire "la plus géométrique possible". Un espace de Hilbert, c'est un espace vectoriel dont la topologie découle d'un produit scalaire (le produit scalaire définit une norme, qui définit une distance, qui définit une topologie) et qui est complet pour la distance associée. Typiquement, c'est un espace de fonctions dans lequel on peut faire de la géométrie, c'est rigolo. Renseignez-vous sur l'espace $L^2$ des fonctions de carré intégrable, il est sympa (et passez le bonjour à Fourier en passant).
  • @Bd2017
    Je ne sais répondre à aucune question.
    Je ne vois pas comment on sait si $F=Vect(0,1,0)$ est fermé :-S
  • Bon, prenons même le cas $E=\R^2$ et une droite F. Je ne fais pas de dessin mais tu imagines.

    Tu regardes son complémentaire et un point y dans le complémentaire (donc pas sur la droite F). C'est évident qu'on peut dessiner une boule de centre y qui ne rencontre pas F (pourvu que le rayon soit assez petit) . Autrement dit le complémentaire de F est un ouvert et donc F est un fermé.
    Ce n'est pas une démonstration mais ça nous guide pour une démo.

    Démontrons que F est un fermé. Il y a surement plusieurs façons. Par exemple démontrer que le complémentaire est un ouvert.

    Je prends un autre point de vue. Soit $(X_n)$ une suite de $F$ qui converge (inutile de préciser au sens de quel norme on est en dimension finie) vers $X$ dans $E$.

    $X_n \in F$ alors $X_n$ est de la forme $(0,x_n,0).$ Posons X=(a,b,c) la limite.

    Par définition de la limite
    $||X_n -X ||$ tend vers 0 (quelque soit la norme). Maintenant je te laisse choisir la norme pour en déduire quelque chose sur X et conclure.
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