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Relation binaire et ensemble vide

$\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}}\newcommand{\im}{\operatorname{im}}$Bonjour
Dans un livre, j'ai besoin d'un éclaircissement par rapport à un passage. Merci d'avance.

On considère deux ensembles (non vides) $X$ et $Y$ et une relation binaire $R$ entre les deux : $R$ = l'ensemble des couples $(x,y) \in X \times Y$ tels que $xRy$ (on confond une relation avec l'ensemble (le graphe) qui la définit, partie du produit cartésien $X \times Y$).

On définit $\dom R = \{x \mid \exists y,\ xRy \},\ \im R =\{y \mid \exists y,\ xRy \}$ (1ère et 2ème projection de $R$).
Puis le livre affirme (sans plus de précision et sans démonstration) pour l'exemple choisi : $X$ = ensemble d'hommes, $Y$ = ensemble de femmes, $R$ = ensemble des couples mariés : $\dom \emptyset = \emptyset$, ce que j'ai du mal à comprendre.

En effet, on peut considérer que $\emptyset = \{(x,y) \in R \mid (x,y) \notin X \times Y \} \subset R$ ; dans ce cas, on a bien $\dom \emptyset = \{x \mid \exists y, \ (x,y) \in \emptyset \} = \emptyset \subset X$ (vu que c'est impossible).
Ou bien que : $\emptyset = \{(x,y) \in R \mid non (x R y) \} \subset R$. Dans ce cas, $\dom \emptyset = \{x \mid \exists y,\ non ( x R y) \} = X$ (dès que le cardinal de $R$ est supérieur ou égal à $2$).

Questions.
1) Comment peut-on obtenir deux résultats différents, vu qu'il n'existe qu'un seul ensemble vide ?
2) Il me semble que la 2ème définition pour l'ensemble vide est plus proche de celle voulue par le livre, mais elle ne colle pas avec le résultat. Quel est votre avis ?

Je suis un peu perdue là, merci d'avance.

Réponses

  • Il y a beaucoup d’éléments dans la relation vide ? Donc tu as la réponse à la question.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Merci beaucoup nicolas.patrois, j'ai compris ! C'est plus clair si on parle de 1ère et 2ème projection (de l'ensemble vide), et ceci est vrai pour toute relation (l'exemple donné n'a rien à faire là-dedans).

    En fait, il ne faut pas prendre la définition au pied de la lettre (mot pour mot), mais comprendre ce que l'auteur a voulu dire, même dans ce cas extrême.
  • Une relation binaire est juste un ensemble de couples. L'académisme entretient une ambiguïté en voulant préciser les supports. Cette question vaut aussi pour les fonctions que certains s'arrachent les cheveux à ne pas vouloir identifier à ce qu'ils appellent leur graphe.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Ah mais oui, l'ensemble vide est commun à tous les ensembles, donc il n'a rien à voir avec l'exemple donné (c'était ambigu dans le livre car les deux énoncés sont à la suite).

    $\dom \emptyset = \{x \in X \mid \exists y \in Y,\ (x,y) \in \emptyset \} = \emptyset $. En effet, on suppose qu'il existe $x \in X$ tel que $ \exists y \in Y, (x,y) \in \emptyset$, c'est impossible, donc un tel $x$ n'existe pas.
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