Vers l’infini et au-delà

Sneg

Pardon d’avoir mis hier votre patience à rude épreuve mais, s’il vous plaît, permettez-moi de revenir une dernière fois sur l’affirmation relative aux nombres irrationnels : « Il n’existe pas de méthode permettant de les écrire tous (en théorie). Donc, ils sont non dénombrables. »

On sait que les nombres à développement décimal illimité périodique peuvent s'écrire sous la forme de fractions, et que les fractions sont dénombrables.

Supposons maintenant qu’un mathématicien génial parvienne un jour à écrire les nombres à développement décimal illimité non périodique sous une autre forme encore inconnue aujourd’hui et que, sous cette forme nouvelle, ils soient dénombrables.

Que pensez-vous de cette supposition ? (S’il vous plaît, pas d’invectives.)

Merci d’avance.

« Il n’existe pas de nombre non nul dont le carré soit négatif. »

rémi

Peu importe toutes les formes que l'on pourra trouver. Une fois que l'on a démontré que ce n'est pas dénombrable, ce n'est pas dénombrable. Conclusion : ce mathématicien génial a fait une erreur.

Martial

@Dom : ce forum existe depuis le 1er janvier 2001, donc le message dont tu causes était loin de faire partie des premiers.

gerard0

"Je comprends la démonstration"
"Merci, maintenant j'ai vraiment compris"

"Supposons maintenant ... et que, sous cette forme nouvelle, ils soient dénombrables."

Ben non, il n'a toujours pas compris la démonstration !! Vous perdez votre temps à lui répondre ...

Palabra

Sneg: Il est possible qu'un jour une personne trouve une bijection $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$, tout comme il est possible qu'un jour une personne trouve un nombre réel dont le carré vaut $-1$
Cela montrerait simplement que les axiomes de la théorie des ensemble seraient contradictoires.

Par contre on vérifierait bien la preuve proposée (et tout le souci avec ce que tu proposais est qu'il n'y avait pas de preuve!).

A noter que la découverte des nombres complexes n'a pas témoigné d'une telle contradiction. On savait que le carré d'un nombre réel était toujours positif, et on a fini par montrer qu'on pouvait avoir un ensemble de choses, que l'on pouvait additionner, multiplier, soustraire et diviser, dans lequel $-1$ était un carré.

Poirot

Sneg a écrit:

Supposons maintenant qu’un mathématicien génial parvienne un jour à écrire les nombres à développement décimal illimité non périodique sous une autre forme encore inconnue aujourd’hui et que, sous cette forme nouvelle, ils soient dénombrables.

La non dénombrabilité des nombres irrationnels n'a strictement rien à voir avec la manière dont on les décrit. Tu ne sembles toujours pas accepter le caractère absolu d'une preuve, en l'occurrence la preuve de la non dénombrabilité de l'ensemble des réels entre $0$ et $1$ de Cantor, que tu dis pourtant avoir comprise.

Ta phrase commence par "supposons que quelqu'un fasse l'impossible, alors...". Bah oui, si on part de quelque chose de faux on peut tout en déduire, ce n'est pas un scoop.

Sneg

Mille excuses, pour le dérangement supplémentaire et inutile. Et merci de m’avoir répondu pourtant une nouvelle fois. (J’écarte évidemment gerard0 de ces excuses et remerciements, vous devinez pourquoi.)

Il se fait que ce matin j’ai oublié ce que j’avais compris hier soir, à savoir ceci :
Quelle que soit la façon dont on écrit les nombres irrationnels, une fois qu’on les retranscrit sous la forme d’un nombre à développement décimal illimité non périodique, l’argument diagonal nous montre qu’on en a oublié.

J’espère que c’est bien ça qu’il faut comprendre.

Poirot

Il y a une sorte de temporalité dans ce que tu dis : "une fois qu'on les retranscrit ... ils sont en nombre non dénombrable". C'est bien le fait que l'on puisse les représenter par des développements décimaux infinis qui fournit une preuve, mais le résultat tient sans avoir à y faire référence (il existe d'ailleurs d'autres preuves qui ne passent pas par là).

Sneg

Poirot,

J’ai entendu parler d’autres preuves, en effet. Mais en ce qui concerne l’argument diagonal, tout ce qui m’importe est maintenant dit, écrit et compris : je ne l’oublierai plus.

Encore merci.

Sneg

Bonjour,

Poursuivant ma lecture sur la notion d’infini(s) en mathématiques, je tombe sur la définition suivante :

« Un ensemble est dit infini lorsqu’il peut être mis en bijection avec l’une de ses parties propres. »

Comment dois-je interpréter cette définition ? :

1) Si l’ensemble $E$ est infini, alors il peut être mis en bijection avec l’une de ses parties propres.
2) Si l’ensemble $E$ peut être mis en bijection avec l’une de ses parties propres, alors il est infini.
3) L’ensemble $E$ peut être mis en bijection avec l’une de ses parties propres si et seulement si l’ensemble $E$ est infini.
4) Autre option

Merci d’avance.

Poirot

Réponse 3.

Martial

@Sneg : c'est comme il a dit lui. (Poirot).

Historiquement, cette définition est la première définition de l'infini (Dedekind, 1870). De nos jours on prend plutôt la définition suivante : un ensemble est infini ssi il ne peut pas être mis en bijection avec un entier, où les entiers sont définis récursivement par $0= \emptyset$ et $n+1= n \cup \{n\}$, et donc tout entier $n$ non nul est égal à $\{0,1,...,n-1\}$.

Comme je l'ai expliqué plus haut ces deux définitions sont équivalentes modulo une variante faible de l'axiome du choix.

Médiat

Il y a aussi la définition de Tarski qui n'a besoin ni de AC (même faible) ni des entiers : Un ensemble est fini si et seulement si toute famille non vide de ses parties admet un élément minimal pour l'inclusion.

Sneg

Poirot, Martial et Médiat, merci pour vos réponses. C’est très gentil.

Martial

@Mediat : je crois qu'on a déjà discuté de cette définition de Tarski, que je ne connaissais point.
Mais ce qui serait intéressant c'est de voir quelles sont les hypothèses nécessaires (genre ZF + blablabla) à l'équivalence entre les 3 définitions :
(1) Celle de Dedekind.
(2) Celle de ZF (la classique).
(3) Celle de Tarski.

On sait que $(2) \Rightarrow (1)$ dans ZF, et que $(1) \Rightarrow (2)$ dans $ZF+AC_{\omega}$. Qu'en est-il des autres implications ?

Sneg

Bonjour, c’est encore moi.

J’aimerais savoir si les affirmations suivantes sont exactes :

1) Le cardinal de $\mathbb{R}$ est le cardinal du continu.
2) Le cardinal d’une partie propre $P$ d’un ensemble $E$ n’est jamais strictement supérieur au cardinal de l’ensemble $E$.
3) Je suis libre de choisir qu’il existe ou pas un cardinal intermédiaire entre le cardinal du dénombrable et le cardinal du continu.

Merci d’avance.

Martial

1) Oui.
2) Oui.
3) "libre de choisir" ne veut pas dire grand-chose. Je préférerais que tu dises par exemple : "l'existence d'un cardinal intermédiaire entre le dénombrable et le continu est indécidable dans la théorie ambiante, en l'occurrence ZFC".

Sneg

Merci, Martial.

Pour ce qui est du point 3, j’essayais de trouver un synonyme au mot « indécidable ».

Médiat

@Martial

De mémoire $2 \Leftrightarrow 3$

Sneg

Merci à (presque) tous pour vos remarques.

Enfin, on touche au but ! ... à savoir que, sur base d’affirmations vraies (?), j’aboutis à un cul-de-sac.
Pourriez-vous m’aider à y voir plus clair ?

A) Card $\mathbb{N} < $ Card $\mathbb{R}$.
Card $\mathbb{N} < $ Card $[0, 1]$ (intervalle de réels).
C) Puisque l’intervalle des réels $[0, 1]$ est une partie propre de $\mathbb{R}$, le cardinal de $[0, 1]$ ne peut pas être strictement supérieur au cardinal de $\mathbb{R}$.

Ce qui me conduit aux résultats hypothétiques suivants :

1) Card $[0, 1] = $ Card $\mathbb{R}$.
2) Card $[0, 1] < $ Card $\mathbb{R}$, ce qui donnerait : Card $\mathbb{N} < $ Card $[0, 1] < $ Card $\mathbb{R}$.

Puisqu’on ne peut pas décider de l’existence ou non d’un cardinal intermédiaire entre le cardinal du dénombrable et le cardinal du continu, je m’autorise (!) à penser qu’il en existe un, et que c’est le cardinal de $[0,1]$.

L’ennui, c’est que, si Card$[0, 1] < $ Card $\mathbb{R}$, alors je ne vois pas avec laquelle de ses parties propres l’ensemble $\mathbb{R}$ peut être mis en bijection.

Merci pour votre aide.

Martial

@Médiat : merci pour l'info.

@Sneg : OK pour l'histoire des synonymes.

On a $Card([0,1]) = Card(\mathbb{R})$.
Démonstration : considérer la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x)=\dfrac{2}{\pi} Arctan(e^x)$$
et vérifier (exercice) que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0,1[$.
On a ainsi prouvé que $Card(]0,1[)=Card(\mathbb{R})$... et tu m'accorderas sans difficulté que $Card(]0,1[)=Card([0,1])$.

Palabra

Martial: Par induction bien fondée sur l'ensemble des parties d'un Tarski-fini (Tarskini), on montre que celles-ci sont ZF-finies.

Sneg

Merci, Martial, de m’avoir montré vers où me tourner pour avoir une preuve que Card $([0,1]) = $ Card $(\mathbb{R})$. C’est très gentil à toi.

Martial

@Sneg : tu remarqueras que si on considère la bijection réciproque $g$ définie sur $ ]0, \frac{\pi}{2} [$ par
$$g(x)=\ln \big(\tan ( \tfrac{\pi}{2}x )\big) ,
$$ alors l'exercice devient faisable par un élève de Terminale S.
Comme quoi, des fois, il n'y a pas besoin d'aller chercher très loin...

Martial

@Palabra : Merci pour l'indication.

Sneg

Martial,

Bien sûr que je remarque que ... etc. :-)

Je plaisante. J’ai peur que tu ne me voies plus forte que je ne le suis.

Cela dit, merci pour l’indice. Je n’abandonne pas.

Sneg

Martial a demandé qui est Claude Quitté, et Dom l’a orienté vers un séminaire de Claude Quitté consacré aux triplets pythagoriciens.

En googlisant :
« C. Quitte & M.E. Modolo - Autour de l’arbre de Stern-Brocot »,
on trouve un autre séminaire de Claude Quitté, consacré comme son nom l’indique à l’arbre de Stern-Brocot.
(Tiens, tiens !?)

Sans compter ses ouvrages :
- Modules sur les anneaux commutatifs, Algèbre commutative : Méthodes constructives.
- Algorithmique algébrique.

Sneg

[Note personnelle :
Poirot a écrit : « ... si on part de quelque chose de faux, on peut tout en déduire ... ».
Voir « Le principe d’explosion. »]

Sneg

Bonjour,

Je ne reviens pas sur ce qui a été écrit plus haut dans ce fil, mais m’attache ici à un élément d’histoire des mathématiques :

Quand on se documente, on apprend que Cantor « a été confronté à la résistance des mathématiciens de son époque, ... ».

À ce propos, existerait-il une preuve (un texte ...) que les mathématiciens contemporains de Cantor dénombraient l’infinité des éléments de $\mathbb{R}$ au moyen de l’infinité des éléments de $\mathbb{N}$ ?

Merci d’avance.

GaBuZoMeu

Sneg écrivait:

---

> À ce propos, existerait-il une preuve (un texte ...) que les mathématiciens contemporains de
> Cantor dénombraient l’infinité des éléments de $\mathbb{R}$ au moyen de l’infinité des
> éléments de $\mathbb{N}$ ?

Bien sûr que non ! La controverse avec Kronecker portait en fait plutôt sur l'existence d'un infini actuel et sur le fait que des considérations sur des ensembles infinis actuels puissent relever des mathématiques.
Comment voudrais-tu que Kronecker dénombre les nombres réels ??? C'est complètement à l'opposé de ses positions constructivistes.

Sneg

Merci pour cette précision, GaBuZoMeu.

Cela dit, je me disais que tout mathématicien d’avant l’arrivée de Cantor, et qui n’est pas constructiviste, aurait pu considérer comme raisonnable de dénombrer l’infinité des éléments de $\mathbb{R}$ au moyen de l’infinité des éléments de $\mathbb{N}$. Mais mon avis ne compte pas (ce n’est pas gerard0 qui me contredira). J’en cherchais donc une preuve, s’il en existe.

Poirot

Le fait est qu'avant Cantor, je ne pense pas que parler d'énumération par les éléments de $\mathbb N$ avait un sens (Cantor a-t-il introduit le concept de bijection ? En tout cas la notion d'équipotence en elle-même lui est sûrement due). Et même si quelqu'un avait eu une telle idée, ça aurait été pour faire quoi ?

Sneg

Merci, Poirot, pour ton intervention.

Tu demandes : « .., ça aurait été pour faire quoi ? »
Je m’efforce juste de retrouver l’état d’esprit dans lequel les mathématiciens se trouvaient avant l’arrivée de Cantor, afin de comprendre pourquoi les idées de ce dernier ont été si mal accueillies. GaBuZoMeu a pointé une des raisons : le constructivisme de Kronecker.

Parce que, au fond, vouloir dénombrer l’infinité des éléments de $\mathbb{R}$ au moyen de l’infinité des éléments de $\mathbb{N}$ ne semble pas être une idée si déraisonnable que cela : à moins que je ne me trompe, Cantor lui-même a eu cette idée ... avant de s’attacher à démontrer que ce n’est pas une bonne idée.

Martial

@Poirot : je n'ai pas tout lu mais je réponds à ton dernier post.

Pour la petite histoire il faut savoir que même Cantor était très timide avec le vocabulaire. Tu le signales à propos de la notion de bijection, mais il en est de même pour les classes d'équivalence. Par exemple, contrairement à une idée reçue il n'a jamais dit "un réel est une classe d'équivalence de suites de Cauchy de rationnels pour la relation blablabla". Il a dit un truc du genre : une suite de Cauchy de rationnels qui ne converge pas dans $\mathbb{Q}$ "donne naissance" à un nouveau nombre qu'on appelle réel, et qui est donc irrationnel.

De même, toujours contrairement à une idée reçue, il n'a jamais dit "un ordinal est une classe d'équivalence de bons ordres pour la relation d'isomorphisme", ni "un cardinal est une classe d'équivalence d'ensembles pour la relation d'équipotence". Il disait que, partant d'un ensemble bien ordonné (même infini, mais écrit en extension avec la liste de ses éléments de gauche à droite), on obtenait un ordinal en faisant abstraction des noms de ses éléments, et un cardinal en faisant une double abstraction : les noms, et l'ordre.
En clair il voyait tout en termes d'abstraction. Cela prouve qu'il avait tout compris, mais cela lui a valu de vives critiques de la part de Frege : "on ne donne pas des définitions mathématiques à coups d'abstractions, gnigni gnigna".

Roughly speaking on peut donc dire que la théorie naïve des ensembles dont on cause aujourd'hui dans les bistrots n'a jamais réellement existé, elle a plutôt été reconstituée a posteriori, avec des mots modernes, et je suppose pour des raisons essentiellement pédagogiques.

Sneg

Bonjour,

À toute personne que cela intéresse, je propose le petit jeu de vacances suivant :

Le développement décimal de tout rationnel peut compter, si on le veut, une infinité de chiffres. Par exemple, $\dfrac{1}{2}=0,5$ peut s’écrire aussi $\dfrac{1}{2}=0,50000000...$.

Maintenant, voici la question :

On est d’accord (?) que l’on peut lister tous les rationnels, quelle que soit la forme qu’on leur donne : sous forme de fraction ou sous forme de développement décimal (ici, illimité).
Mais peut-on s’amuser à réarranger la liste des rationnels présentés sous forme de développement décimal (illimité) de telle sorte que :
1) la 1ère décimale du 1er rationnel listé soit impaire.
2) la 2ème décimale du 2ème rationnel listé soit paire.
3) la 3ème décimale du 3ème rationnel listé soit impaire.
4) la 4ème décimale du 4ème rationnel listé soit paire.
5) la 5ème décimale du 5ème rationnel listé soit impaire.
Et ainsi de suite...
?

:-)
Merci d’avance.

marco

Non, on ne peut pas, car le rationnel $q=0,21212121\dots$ ne serait pas dans la liste. En effet, si c'est le $i$-ème rationnel de la liste, sa $i$-ème décimale est égal à $i$ modulo 2. Or, ce n'est pas le cas de $q$.

Dreamer

Bonsoir.

Quitte à donner un exemple qui ne s'y trouve pas, autant y aller franchement.

Par exemple : $0,246802468024680...$ ne peut faire partie de la liste par construction.

[Édit : Évidemment, quand je lis en diagonale, cela a toutes les chances d'être faux.]

À bientôt.

Sneg

D’accord avec toi, marco.
Par contre, Dreamer, le nombre que tu donnes pourrait faire partie de la liste. Il pourrait par exemple en être le deuxième rationnel listé, puisque sa deuxième décimale (le 4) est paire.

Sneg

Bonjour,

Imaginons une civilisation d’êtres immortels qui ne connaîtraient les nombres rationnels qu’en tant que nombres dont les décimales deviennent périodiques à partir d’un certain rang, comme par exemple :

$1,000000000000$...
$2,500000000000$...
$8,135959595959$
$9,150115011501$...

Autrement dit, cette civilisation ne connaîtrait pas l'écriture fractionnaire des nombres rationnels, qu’elle n’aurait par conséquent aucune raison d’appeler « rationnels » (ratio = rapport).

Voici qu’une de ses habitantes, Cantorette, entreprend de dénombrer tous ces nombres. Bien que totalement aléatoire, sa méthode lui évite d’écrire deux fois le même nombre. Elle commence comme ceci :

1) 0,0000000000...
2) 0,1000000000...
3) 0,1212121212...
4) 0,1313131313...
5) 0,1414141414...
6) 0,1515151515...
7) 0,1616161616...
Etc.

Soient :
$C$, la diagonale de Cantor : $0,121416$...
$C’$, la diagonale de Cantor dont chacun des chiffres est augmenté d’une unité $1,232527$...

Étant donné le caractère aléatoire de sa méthode, qu’est-ce qui peut assurer Cantorette en plein travail que $C’$ ne sera pas un nombre dont les décimales deviendront périodiques à partir d’un certain rang, c’est-à-dire un nombre qui devra se trouver dans sa liste « exhaustive » mais qui, pour cause d’argument diagonal, ne s’y trouvera pas ?

Merci d’avance pour vos remarques.

Palabra

Sneg: Si C. ne liste que les nombres suivants: $0$, $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{100}$, etc..., alors le nombre $C$ vaudra $\frac{1}{9}$, et $C'-1$ vaudra $\frac{2}{9}$, ce qui, même chez les immortels, est un rationnel. Note que $C'-1$ n'est pas dans la liste.
Ainsi le procédé diagonal (= prendre la diagonale et la modifier point par point) lui-même ne produit pas nécessairement un développement non périodique à partir de développements périodiques. Mais le procédé diagonal produit assurément un nombre à l'extérieur de la liste donnée. Donc ce qui assure que $C'-1$ n'est pas rationnel est simplement la supposition que la liste contient tous les rationnels entre $0$ et $1$ (et encore ici tu ne fais rien qui empêche $C'-1$ de valoir $1$, donc ce n'est pas un argument diagonal viable).

L'argument diagonal utilise le tiers exclus, et c'est pour ça peut-être qu'il te dérange. Pourquoi $C'-1$ n'est-il pas rationnel? De manière équivalente, pourquoi n'est-il pas dans la liste? On sait que par construction, il est distinct de chaque élément de la liste. Je crois que sur ce point tu n'as pas de problème. Mais ensuite tu sembles demander: mais pourquoi ne serait-il pas quand-même dans la liste? Peut-être ne te satisfais-tu pas de "s'il y était, alors il serait distinct de lui-même, ce qui est absurde"?

Sneg

Palabra,

Un tout grand merci pour ta réponse !

Au fond, la question que je me pose ne concerne pas forcément l’argument diagonal. Je la reformule différemment, de façon peut-être un peu plus mathématique :

Si l’on ne connaît pas l’écriture fractionnaire des nombres rationnels, mais qu’on n’en connaît que l’écriture « en développement décimal », comment peut-on s’assurer que l’ensemble $\mathbb{Q}$ est dénombrable ?

Encore merci.

Médiat

Bonjour,

Pour définir les nombres rationnels, il faut :

Choisir la partie entière dans $\mathbb Z$
Choirir la longueur de la période dans $\mathbb N$
Choisir la période (finie)

Sneg

Merci, Médiat !

Cela dit, il y a quelque chose dans ton raisonnement qui m’inquiète.

En effet, si j’applique aux nombres réels un raisonnement similaire (?) au tien, j’obtiens ceci :

En ce qui concerne la partie entière d’un nombre réel :
Elle est à choisir dans $\mathbb{Z}$.

En ce qui concerne la partie décimale d’un nombre réel :

a) le nombre (illimité) de décimales est dénombrable, en bijection avec $\mathbb{N}$ (on peut identifier sa n-ième décimale, pour $n$ entier naturel non nul).
b) chacune de ces décimales est à choisir dans l’ensemble dénombrable $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0\}$.

Donc, $\mathbb{R}$ est dénombrable.

Catastrophe !

gerard0

Aucune catastrophe, seulement l'incompréhension de ce qu'a écrit Médiat !!

Sneg

Quelqu’un d’autre que l’intervenant précédent peut-il avoir la gentillesse de développer l’idée de Médiat ?
(Intervenant précédent qui semble m’avoir prise au sérieux ! Stupéfiant !)

[Celui qui pose beaucoup de questions passe parfois pour un idiot. Celui qui n’en pose jamais reste idiot toute sa vie.]

Merci d’avance.

Médiat

Dans mon explication, je n'utilise, pour les décimales, un nombre dénombrable d'ensembles finis, avec votre explication vous utilisez les fonctions de $\mathbb N$ dans $10$ qui sont $10^{\aleph_0}$.

C'est un peu le même genre de problème avec les parties finies de $\mathbb N$ qui sont dénombrables, alors que toutes les parties ...

Sneg

Juste une dernière question, Médiat, que je remercie :

Aleph zéro est le cardinal du dénombrable.

Est-ce que 10 élevé à la puissance aleph zéro est indénombrable ?
Si oui, alors c’est parfait.
[Ajout : C’est vrai qu’on a déjà : $2^{\aleph_{0}} = \aleph_{1}$.]

Médiat

Oui et oui

De plus $10^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}$

Sneg

On rédigeait ensemble, Médiat.
Ok !
Encore merci beaucoup.

Poirot

Attention, $2^{\aleph_0}$ n'est pas $\aleph_1$. En tout cas c'est une égalité indépendante des axiomes de $\mathsf{ZFC}$.