Choix du plus petit élément et bon ordre
Bonsoir
Dans une démonstration du théorème de la base normale, le groupe de Galois est bien ordonné de telle sorte que Id soit son plus petit élément ...
De quel théorème relève cette possibilité revendiquée de choisir le plus petit élément d'un ensemble non vide bien ordonné ?
Merci pour vos réponses !
Dans une démonstration du théorème de la base normale, le groupe de Galois est bien ordonné de telle sorte que Id soit son plus petit élément ...
De quel théorème relève cette possibilité revendiquée de choisir le plus petit élément d'un ensemble non vide bien ordonné ?
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Réponses
Indication de preuve : tu peux définir explicitement ce bon ordre !!!
Démonstration : Je considère un bon ordre sur $X \setminus {x}$ que je prolonge à $X$ en décrétant que $x$ est le minimum de $X$ pour la relation d'ordre élargie (qui reste un bon ordre).
Cette phrase est un peu ambiguë, car on ne sait pas si tu as le droit de choisir l'ordre, vu que tu annonçais au présent de l'indicatif "qu'il est là". Par contre, tu l'annonces comme conforme à ton désir (id est le minimum), donc vue la phrase, j'ai envie de dire qu'il n'y aurait même rien à faire vue qu'elle apparait comme hypothèse.
On a implicitement traduit par "il existe un bon ordre qui blabla"
Concernant l'énoncé de l'exercice il se borne à affirmer la possibilité de munir/choisir un bon ordre tel que id soit le minimum: cela m'apparaît évident en toute généralité si on ajoute un élément extérieur à l'ensemble ordonné mais me semblait jusqu'à présent non trivial si on raisonnait dans l'ensemble lui-même mais grâce à vos réponses un déclic s'est opéré dans mon esprit.;-)