Suite homographique

Lacouette

Bonjours, je sèche sur le cours.

Soit une suite homographique u(N+1)=f(uN) avec f(x) =(ax+b)/cx+d).
f(x)=x ssi cx² - (a-d)x - b = 0. (E)
Jusque là tout va bien.
Puis les ouvrages indiquent.
Si (E) admet deux solutions "alpha et "beta", alors la suite (vN) définie par (vN)=(uN - alpha)/(uN- beta) est géométrique de raison k;
k =(a-alpha*c)/(b-beta*c)

Les ouvrages que j'ai (Gourdon par exemple) ne donnent aucune indication sur comment on arrive à ce résultat (ou parfois juste mentionnent un calcul facile).
Mais je ne vois pas comment y arriver...
Merci de votre aide !!!
Laurence.

poli

Pour la partie calculatoire, sans parler des contraintes sur $a, b, c$ et $d$ :
Écris $v_{n+1} $ en fonction de $u_n, a, b, c, b, \alpha$ et $\beta$ sous la forme $\frac{Au_n+B} {Cu_n+D} $. Le fait que $\alpha$ et $\beta$ soient solutions de $cx^2...$ devrait alors t'être utile. Ce n'est finalement qu'un jeu d'écriture.

BobbyJoe

Il suffit d'écrire (formellement) la chose suivante :
\begin{align*}
v_{N+1} & =\frac{u_{N+1}-\alpha}{u_{N+1}-\beta}\\
& = \frac{au_{N}+b-\alpha(cu_{N}+d)}{cu_{N}+d}\times \frac{cu_{N}+d}{au_{N}+b-\beta(cu_{N}+d)}\\
& = \frac{(a-\alpha c)u_{N}+b-\alpha d}{(a-\beta c)u_{N}+b-\beta d}\\
\end{align*}

Or, on a les relations : $\displaystyle \alpha=\frac{a\alpha+b}{c\alpha+d}$ et $\displaystyle \beta=\frac{a\beta+b}{c\beta+d}.$
D'où l'on tire : $\displaystyle b-\alpha d=-\alpha(a-c\alpha)$ et $\displaystyle b-\beta d=-\beta(a-c\beta).$
En réinjectant, il vient alors en notant $\ell_{1}=a-\alpha c$ et $\ell_{2}=a-\beta c$ puis en factorisant l'expression obtenue précédemment :
$$v_{N+1} = \frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}\frac{u_{N}-\alpha}{u_{N}-\beta}=\frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}v_{N}.$$

Chaurien

L'idée c'est que si $f(x)=\frac {ax+b}{cx+d}$, alors $f(x)-f(y)=\frac {(ad-bc)(x-y)}{(cx+d)(cy+d)}$, sous réserve de définition.
Si la fonction $f$ admet deux points fixes distincts $\alpha$ et $\beta$, il vient : $f(x)-\alpha=\frac {ad-bc}{(c \alpha+d)(cx+d)}(x-\alpha)$ et $f(x)-\beta=\frac {ad-bc}{(c \beta+d)(cx+d)}(x-\beta)$.
Et par quotient : $\frac{f(x)-\alpha}{f(x)-\beta}=\frac {c \beta +d}{c \alpha+d} \cdot \frac{x-\alpha}{x-\beta}$, toujours sous réserve de définition.
Pour éviter ces agaçants problèmes de définition, il faut faire vivre les fonctions homographiques dans $\widehat{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{\infty \}$ ou bien $\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Thibaut

@Chaurien,

Vraiment élégante comme méthode !

Lacouette

Merci !!! Ca s'éclaire!
Je vais me pencher sur les fonction homographiques :-)
Laurence.

Math Coss

Une autre approche consiste à considérer la matrice $A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\big)$. Si l'homographie admet deux points fixes, c'est que $A$ admet deux vecteurs propres $(\alpha,1)$ et $(\beta,1)$ (ah ?). On fait un changement de base ; dans la base des vecteurs propres, la multiplication par $A$ est le produit par une valeur propre donc l'homographie associée est le produit par le rapport des valeurs propres.

Ce qui justifie la dernière assertion, c'est que si $h_A$ est l'homographie $z\mapsto(az+b)/(cz+d)$ associée à $A$ et si $B$ est une autre matrice inversible, on a $h_A\circ h_B=h_{AB}$.

Pour résumer, la raison de la suite géométrique est le rapport des valeurs propres de $A$. Ça veut dire qu'il y a plus qu'une astuce de calcul.

Thibaut

Bonjour, @MathsCoss,

Complètement d'accord avec toi pour la représentation matricielle.
J'ai réussi avec ta méthode mais pas avec la méthode de @Bobby_Joe, plus analytique.

geo

@Math Coss Ce que tu expliques avec la matrice, est ce lié à la droite projective et les homographies?

Ca me rappelle quelque chose!!!

geo

D'ailleurs, je me demande si c'est pas en lien avec le birapport et les homographies.

Math Coss

Oui, c'est en rapport. La réduction de la matrice de l'homographie montre (si elle est diagonalisable) que l'homographie est conjuguée à $x\mapsto cx$ où $c$ est le rapport des vp.
Le lien est donné par $\C^2\setminus\{0\}\to\mathrm P^1$, $(x,y)\mapsto y/x$.

geo

C'est ce qui me semblait. D'ailleurs, cela peut expliquer la méthode de BobbyJoe quand il utilise la suite $V_n=\frac{U_n-\alpha}{U_n-\beta}$.

On peut l'obtenir à partir de la matrice réduite puisque ses valeurs propres sont les points fixes de la suite.

Dom

Bonsoir
Une toute petite remarque sur le point de vue matriciel. Désolé si elle a déjà été dite. 

La matrice $A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\big)$ représente la fonction homographique donnée plus haut mais aussi, pour $k\neq0$, la matrice $\big(\begin{smallmatrix}ka&kb\\kc&kd\end{smallmatrix}\big)$. 

C’est tout. 

Cordialement 
Dom