Exercice Cori Lascar

Raskolnikov

Bonjour,
malgré l'aide du corrigé, je ne parviens pas à rédiger la solution de la question b.
$\alpha_{2}$ étant la fonction définie pour tout couple $(x,y)$ de $\mathbb{N}^{2}$ par $\alpha_{2}(x,y)=\frac{1}{2}(x+y+1)(x+y)+y$ et pour tout entier $p\geqslant 2$, pour tous entiers naturels $x_{1},\ldots, x_{p+1},\quad \alpha_{p+1}(x_1,\ldots,x_{p+1})=\alpha_{p}\big(x_1,\ldots,x_{p-1},\alpha_{2}(x_{p},x_{p+1})\big)$.

Raskolnikov

Bonjour,
comment prouve-t-on la question b) par récurrence ? C'est peut-être simple, mais je n'y parviens pas...

Maxtimax

bah allons-y :

$\alpha_{p+1}(x_1,...,x_{p+1}) = \alpha_p(x_1, ..., x_{p-1},\alpha_2(x_p,x_{p+1}) ) < (x_1+...+x_{p-1} + \alpha_2(x_p,x_{p+1})+1)^{2^{p-1}} < \\
(x_1+...+ x_{p-1} + (x_p+x_{p+1}+1)^2 +1)^{2^{p-1}} $

On va maintenant vouloir majorer $(a+(b+1)^2 +1)$ par $(a+b+1)^2$

Le second est $a^2+ 2a(b+1) + (b+1)^2$, il s'agit donc de majorer $a+1$ par $a^2+2a(b+1)$. $a\leq a^2$ est clair, $1\leq 2a(b+1)$ aussi, si on suppose $a\neq 0$.

Il s'agit donc simplement de traiter le cas $a=0$, qui revient à $x_1,...,x_{p-1} = 0$. Je te laisse t'occuper de celui-là

Raskolnikov

Merci beaucoup! Pour le cas $x_{1}=\cdots=x_{p-1}=0$ : si $x_{p}\neq 0$, alors $\alpha_{2}(x_{p},x_{p+1})+1=\alpha_{2}(x_{p}-1,x_{p+1}+1)<(1+x_{p}+x_{p+1})^{2}$ et si $x_{p}=0$, $\alpha_{2}(0,x_{p+1})+1=\alpha_{2}(x_{p+1}+1,0)=\dfrac{1}{2}(x_{p+1}^{2}+x_{p+1})<(x_{p+1}+1)^{2}$.