Suites arithmético-géométriques

Mohammed R

Bonjour à toutes et à tous,
j'espère que vous allez bien.

Je voulais savoir si, en tant que professeur de première, vous acceptiez d'un élève qu'il trouve la formule explicite d'une suite arithmético-géométrique en donnant directement la formule générale et en l'appliquant, et en ne suivant pas les éventuelles recommandations de l'exercice à chercher ? (1)

Je voulais savoir si, en tant que professeur de terminale, vous acceptiez d'un élève qu'il trouve la formule explicite d'une suite arithmético-géométrique en donnant directement la formule générale et en l'appliquant, et en ne suivant pas les éventuelles recommandations de l'exercice à chercher ? (2)

Je voulais savoir si, en tant que professeur de première, vous acceptiez d'un élève qu'il trouve la formule explicite d'une suite arithmético-géométrique en démontrant la formule générale et en appliquant cette dernière, et en ne suivant pas les éventuelles recommandations de l'exercice à chercher ? (3)

Je voulais savoir si, en tant que professeur de terminale, vous acceptiez d'un élève qu'il trouve la formule explicite d'une suite arithmético-géométrique en démontrant la formule générale et en appliquant cette dernière, et en ne suivant pas les éventuelles recommandations de l'exercice à chercher ? (4)

Ceci afin de gagner du temps (énormément !) lors d'un DS ou d'une séance d'exercices, et de tenter de tout faire (correctement si possible).

Merci d'avance,
Mohammed R.

soleil_vert

en ne suivant pas les éventuelles recommandations de l'exercice

Quel est ton problème?
On te dit de faire une chose et tu dois la faire, si tu veux faire des super maths il y a des livres, des olympiades... mais tant que tu vas à l'école tu suis (suivre) les même règles que tout le monde!

Compris.

gagner du temps

En ayant fait suffisamment d'exercices avant et rédiger des devoirs maison de plusieurs pages tu devrais acquérir un recul qui te permettra d'aller vite sans utiliser de la poudre de perlimpinpin.

biely

Bonjour,
Mon avis:
Si la formule générale n'est pas dans le cours (et je ne pense pas qu'elle y soit dans ce cas) alors la réponse est non pour 1) et 2). Pour 3) et 4) tout dépend ce que l'on appelle "recommandation". Si c'est seulement un "on pourra..." alors je pense que c'est bon à partir du moment où l'on ne fait pas du hors programme (style raisonnement par récurrence en première) mais si l'exercice est guidé d'une manière forcée alors la réponse est certainement non également pour 3) et 4).

Mohammed R

Quand je parle de recommandations ,je voulais dire des remarques du style :
"On pourra s'aider de (..) pour remarquer que (..) "
Bien évidemment, je fais comme il m'est demandé si les remarques sont du style :
"Vérifier que (..) et en déduire que (..) " , d'ailleurs dans ces cas-là, je ne perds que rarement du temps car sachant déjà ce que je dois faire pour l'avoir fait au préalable chez moi, j'ai les bons "réflexes" au(x) bon(s) moment(s).

Je voulais parler des pistes qui n'en sont pas lorsque l'on a la méthode et savoir si c'est mal vu de ne pas les suivre.

biely

Le mieux c'est de demander à ton prof car selon les profs la réponse ne sera pas obligatoirement la même à mon avis...

Mohammed R

biely :

D'accord, merci (tu).


Par ailleurs, l'on m'a dit que la formule générale n'est pas dans le cours de première et de terminale (!!!) mais je me suis rendu compte qu'il y avait pas mal d'exercices sur les suites arithmético-géométriques sur les deux années, plus ou moins guidés, et que ça pourrait faire gagner du temps de ne pas s'appuyer sur une suite auxiliaire et/ou une équation de type $k = ak +b$ à partir du moment où l'on a compris ce qui "se cache derrière".

Cordialement,
Mohammed R.

Mohammed R

Oui, ça c'est sûr, mais dans mon lycée, les élèves de Première n'ont pas la possibilité avant début septembre de connaître leurs différents professeurs de terminale malheureusement, même pour les spécialités :-( !! De plus, pour le baccalauréat, j'aimerai j'aimerais mettre toutes les chances de mon côté et ce serait bête de perdre un quart de point voire plus pour si peu...

Cordialement,
Mohammed R.

biely

Une Ferrari est censée respecter les limitations de vitesse, quand tu seras sur circuit tu pourras t'amuser un peu plus (:D.

Mohammed R

Haha effectivement, plus qu'un an d'ailleurs avant les études supérieures B-) !

zeitnot

Mohammed, tout dépend des questions. Mais typiquement pour la tarte à la crème de la suite axillaire, il faut démontrer qu'elle est géométrique, puis en déduire blabla, si tu ne fais pas la question et bien tu n'auras pas les points à la question car tu ne l'as pas faite.

Ensuite pour ton 3) et 4), je ne vois pas bien comment tu gagnes du temps. Si tu refais la démonstration de manière générale avec des lettres pour ensuite l'appliquer au cas particulier de ton exercice ou que tu fasses la démonstration de manière guidée avec des valeurs particulières, ça ne change pas la face du monde.

Sinon, effectivement demande à ton prof. Mais j'ai peur qu'il se dise, "ah, un petit malin qui veut se faire mousser car il sait qu'il y a une méthode générale, alors qu'il est bon élève et qu'il sait parfaitement faire l'exercice bateau que je lui propose".

Mohammed R

Ah mince alors...
Sinon, pour la démonstration, c'est vrai que tu as raison, et que dans tous les cas, je vais perdre du temps si c'est guidé "impérativement"...
Peut-être que le prof sera sympathique et fera du hors programme à foison ! (:D

soleil_vert

Peut-être que le prof sera sympathique et fera du hors programme à foison

Tu prends un livre de L1/prépa les parties analyses et algèbre linéaire sont grandement accessible et il y a plein de livres d'exercices.

Ca t'évitera la frustration ;-)

J'aime bien le Cagnac Ramis Commeau des années 1960.

Mohammed R

C'est ce que je compte faire dès que j'aurais maîtrisé à 100% certaines notions :-D, d'ici début août peut-être...
Celui-là ? Lien

lourrran

La formule générale d'une suite arithmético-géométrique, je ne la connais pas. Je suis convaincu que pendant mes longues études, je ne l'ai jamais apprise.
Cette formule n'a aucun intérêt 'scientifique', 'industriel' ni quelconque. Et elle est si facile à retrouver qu'elle n'a pas d'intérêt en soi.
C'est un thème bien sympa pour faire des exercices, où on va demander à des élèves de trouver une formule magique... Point final. Donc, tu joues le jeu, tu fais l'exercice comme on te demande de le faire.

Si en plus, tu connais la formule générale, ça te donne un moyen de vérifier que tu n'as pas fait d'erreurs ici ou là dans les étapes de l'exercice.
Mais c'est tout, c'est le seul bénéfice que tu peux tirer de cette connaissance hors-programme.

Mohammed R

En fait, j'avais vu que :
Soit $a \in \mathbb{R} \setminus \{0 ; 1\},\ b \in \mathbb{R} \setminus \{0\} $. Soit $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} = au_{n} + b $.
Si l'on a $u_0 = \alpha$, alors : $$\ \forall n \in \mathbb{N},\qquad u_n = a^n\Big(\alpha - \frac{b}{1-a}\Big) + \frac{b}{1-a}.
$$ J'espère ne pas me tromper sur les quantificateurs ou pire m'être trompé sur la formule :-S...
Et sinon, d'accord pour le reste du message...

lourrran

Dans les cas a=0 ou b=0, la formule reste valable. Et dans ces 2 cas particulier, je peux te confirmer que ta formule est exacte.

nahar

Bonsoir Mohamed R
Comme pour toutes les formules qu'on n'utilise que rarement, je doute fort que tu puisses te rappeller tes coefficients dans quelques mois, alors qu'une méthode une idée voire une astuce on ne l'oublie pas.
Et je suppose que les indications qu'on te donnera seront ou bien les plus directes ou celles qui font appel à la partie du programme que l'on veut te voir appliquer.
Donc pour moi il est fortement déconseillé d'aller dans une autre direction que celle voulue par l'auteur de la question.
Cordialement.

Mohammed R

lourrran :
Peut-on donc dire que les suites constantes et les suites géométriques sont des suites arithmético-géométriques (particulières ?) ?
Que penser des suites arithmétiques pour lesquelles $a$ vaut $1$ ?

nahar :
Bonsoir, effectivement, après tout ce que l'on m'a dit, je pense que je vais désormais me fier à l'exercice, et que cela ne me posera pas trop de problèmes vu que je comprends "ce qu'il y a derrière". Pour la vitesse, je pense à apprendre à écrire plus vite et évidemment à continuer de faire énormément d'exercices.

lourrran

Le terme arithmético-géométrique est un terme récent.
Quand j'étais lycéen ou même collégien (?), j'ai fait des dizaines d'exercices sur les suites de cette forme.
Mais je n'ai jamais entendu cette dénomination.
J'ai repris contact avec le milieu lycéen il y a 5 ou 10 ans, via les forums. Et c'est là que j'ai découvert cette dénomination.

Une suite constante est une suite à la fois arithmétique et géométrique, et arithmético-géométrique.

De la même façon : un carré est à la fois un rectangle et un losange, et un quadrilatère.
Un carré hérite des propriétés des rectangles et il hérite aussi des propriétés des losanges.

Pour les suites, on a la même logique.

math2

Apprendre la formule générale par coeur n'a aucun intérêt, en revanche en post-bac il faut savoir la retrouver.

La méthode consiste en une technique relativement générale, basée sur ce que l'on appelle la structure d'espace affine (que tu verras plus tard). Et c'est cela qui sera important en mathématique pour la suite : se rendre compte que plusieurs problèmes a priori très différents se résolvent par des techniques similaires, une fois que l'on a accepté de se placer dans un cadre unifié.

C'est cela une démarche de mathématicien, ou plus généralement d'un étudiant en mathématiques, tandis qu'un étudiant qui applique des mathématiques sera potentiellement amené lui à apprendre par coeur les formules. Lorsque j'enseignais en sciences éco, il m'a été explicitement demandé que les étudiants connaissent par coeur les formules pour les cas usuels d'équations aux différences et équations différentielles linéaires avec second membre, dont les suites arithmético-géométriques sont un cas particulier. Mes collègues économistes pensaient qu'il est pus facile pour un étudiant d'apprendre par coeur des formules que d'avoir des moyens de les retrouver, avec un minimum de compréhension de ce qui se passe.

Mohammed R

lourrran :
D'accord merci (tu). Un cas particulier m'intéresse et m'intrigue :
Soit $(u_n) _{n \in \mathbb{N}}, u_0 = k, k \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = 0 \times u_n + b, b \ne k$.
Quelle est la nature de cette suite ? Le problème (pour moi) est que $\forall i \in \mathbb{N*}, u_0 \ne u_i$. Je pense, qu'en considérant que $0^0 = 1$, elle est arithmético-géométrique ...

math2 :
Je te remercie de ce que tu m'as dit et prends en compte tes propos (tu)

gerard0

Bonjour.

Ta suite est évidente. Elle est un cas particulier de suite stationnaire. Si tu la commence à $u_1$, c'est une suite constante.

Cordialement.

Mohammed R

Bonjour,
j'espère que tu vas bien.
Je viens de voir la définition d'une suite stationnaire (je ne l'avais pas vue dans mon livre) et oui je comprends mieux. Merci bien (tu).
Cordialement,
Mohammed R.