"Si f'(x) = 0 alors x est un extremum"

Riemann_lapins_cretins

Bonjour,

Une chose m'intrigue par rapport à mes élèves de lycée. N'ayant plus mes cours de l'époque je ne peux pas vérifier par moi-même.

Je sais bien que pour les lycéens la phrase du titre fait office de théorème sans autre forme de procès ou hypothèses d'une quelconque nature.

Il s'avère seulement que récemment j'ai voulu jouer à piéger un élève avec des questions type "la fonction inverse est décroissante sur R\{0}" ou encore "la fonction cube sur [-1,1] a pour dérivée $3x^{2}$, donc elle s'annule en 0 et son maximum est 0".

Je m'attendais évidemment à ce que mon élève se prenne les pieds dans le tapis. Ce qui m'a plus choqué c'est qu'il m'ait montré son cours de première et que la phrase titre de mon topic était écrite telle quelle sous forme de théorème.

Bref, je comprends que certains profs épurent les hypothèses en sachant que pour leurs élèves cela sera suffisant et qu'ils ne feront jamais face à une situation pathologique mais voir la chose écrite comme ça dans un cours (polycopié, mon élève n'est pas fautif) me choque.

Bref, certains ici ont-ils des collègues faisant ce genre de choix ? Qu'en pensez-vous ?
Merci.

nicolas.patrois

Il est aussi possible que l’élève n’ait pas tout écrit ou alors qu’il ait écrit la réciproque du résultat de cours.

Riemann_lapins_cretins

Non, comme je l'ai dit c'était un polycopié.

Badiste75

Parce qu’en plus l’extremum c’est x? Pas f(x)?

Si les hypothèses n’y sont pas c’est effectivement choquant. On peut se permettre quelques abus à l’oral (et encore...), pas à l’écrit.

Perso je fais tout le contraire : j’ai des cours interminables avec exemples et démonstrations de toutes les propriétés démontrables. Je m’escrime d’ailleurs à les faire en classe mais en Seconde je vais finir par abandonner, c’est souvent beaucoup trop difficile vu les difficultés à bien intégrer les choses simples.

Riemann_lapins_cretins

Dire que l'extremum est x plutôt que f(x) est par contre courant. Même si c'est plutôt dans le supérieur et que je trouve ça franchement illogique, mais on s'adapte.

Badiste75

Dans le supérieur j’en sais rien si c’est bien ou pas mais au lycée ce serait gravissime.

Foys

Tu leur montres le comportement en $0$ de $x\mapsto x^3$.

Riemann_lapins_cretins a écrit:

Bref, je comprends que certains profs épurent les hypothèses en sachant que pour leurs élèves cela sera suffisant et qu'ils ne feront jamais face à une situation pathologique mais voir la chose écrite comme ça dans un cours (polycopié, mon élève n'est pas fautif) me choque.

Quand les contre-exemples sont des polynômes de petit degré c'est gênant. Les préjugés des faiseurs de programme sont de plus en plus glauques. L'image de leur représentation mentale des maths qui se dessine progressivement est effrayante...

nicolas.patrois

On dit plutôt que l’extremum est atteint en x.

Riemann_lapins_cretins

C'est vrai que dans l'esprit lycée vous avez raison et je me rends compte que je n'ai condamné la confusion entre extremum et point d'atteinte auprès de mes élèves, tant il était établi dans ma tête qu'on appelait extremum le point d'atteinte.

zeitnot

Dire que l'extremum est x plutôt que f(x) est par contre courant

Je ne sais pas si c'est courant, mais c'est faux comme la propriété énoncée. Dans la pratique, quand un élève de première cherche les extrema d'une fonction, en règle générale, il dresse le tableau de variations de la fonction proposée et conclut ensuite sans faire référence à un théorème.

Riemann_lapins_cretins

Oui zeitnot je suis d'accord dans la pratique. Pour ça que j'ai écrit le petit faux raisonnement dans mon vrai/faux pour piéger l'élève.

Par contre quand je dis "courant" je ne veux pas dire "on sait que c'est abusif mais on le dit souvent". Je veux dire que depuis que je suis dans le supérieur on DEFINIT l'extremum comme étant le point d'atteinte. Mais ce n'est certes pas l'esprit lycée et j'avoue que ça m'était sorti de la tête pendant tous mes cours particuliers. Au moins ce topic m'a permis de corriger un truc chez moi.

biely

Je suis un peu surpris du premier message. Dans les manuels récents je ne vois pas de grosses erreurs sur ce sujet.
Exemple :

Riemann_lapins_cretins

Biely : en effet, mes cours de première et terminale évoquaient le changement de signe de la dérivée (le voir écrit me l'a rappelé).

Mais la pratique n'est pas courante d'après vos retours. Je suis rassuré quand même.

Thierry Poma

Bonjour

J'avoue ne pas comprendre le problème. La fonction $[-1,\,1]\ni{}x\mapsto{}x^3$ n'admet aucun extremum en le point $x_0=0$, ni localement au voisinage de ce même point. Sa courbe représentative dans un certain repère y admet une tangente qui n'est autre que l'axe des abscisses et l'origine du repère en est un point d'inflexion.

Cordialement,

Thierry

Riemann_lapins_cretins

TP : eh bien justement, si le titre du sujet énoncé tel quel était vrai, 0 serait extremum de la fonction cube sur [-1,1] par exemple.
Et pour ceux se destinant au supérieur cet énoncé faux peut porter préjudice.
Mieux aurait valu énoncer seulement la réciproque sur un ouvert par exemple. Ou dire qu'il fallait que ce soit un 0 de changement de signe. Bien que concrètement, en dressant le tableau de variation on ait un appui visuel pour ne pas se tromper, c'est une bien mauvaise habitude que de seulement chercher à résoudre f'(x) = 0 lorsqu'on demande quand f est maximale, qui peut perdurer un moment dans le supérieur et être dure à perdre.

Math Coss

Je ne vois pas à quel titre on pourrait incriminer les « faiseurs de programmes » comme le fait Foys, du moins pour cette question très précise. Plutôt qu'une volonté de simplifier, je parierais pour une erreur pure et simple de la part du professeur de cet élève.

(Si ça vous intéresse, ce qui m'a choqué récemment, c'est une confusion réelle et récurrente entre addition et multiplication chez un étudiant de deuxième année. Elle s'est exprimée au moins sous trois formes différentes dans un même oral ; il s'agissait de nombres réels, peut-être même entiers, hein, pas des matrices ou des octonions.)