Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock

gebrane

Soit la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(x)
= \begin{cases}
n & x=1/n \\
0 & \text{ sinon} \\
\end{cases}$
$f$ est-elle intégrable au sens de R ? au sens de L ? au sens de HS KH ?
Une dédicace pour ev.

MrJ

Une fonction Riemann intégrable est bornée, donc non. La fonction est presque partout nulle, donc elle est intégrale au sens de Lebesgue. Je ne sais pas ce que c’est HS.

gerard0

Bonjour.

HS : Hors Service, déféctueux
KH : Kurzweil-Henstock.

Cordialement.

NB : Gebrane, pense à rajouter le "si" dans la définition de $f$.

Georges Abitbol

Et $\forall x \in [0,1]$ :-P

ev

Bonjour Gebrane, bonjour à tous.

$f$ est KH-intégrable pour deux raisons, la première plus élémentaire que la seconde :
1/ elle est nulle sauf sur un ensemble dénombrable.
2/ elle est intégrable au sens de Lebesgue.

Amicalement,

e.v.

Dom

Qui est $n$ ?
C’est un entier fixe au départ ?

Si c’est le cas, c’est une fonction en escalier. Quel est le problème ?

Édit : je comprends que ce n’est pas le cas.
Dis-moi, mon cher gebrane, tu nous as habitué à des énoncés plus propres, non ?

gebrane

C'est un abus de mon correcteur automatique , bien sûr c' est KH au lieu de HS.
Dom f (1/3)=3, f (2/3)=0, f ($\sqrt 2$ /2)=0 .....

ev

La fonction $f$ est continue, sauf sur un ensemble de mesure nulle. Pour autant elle n'est pas Riemann intégrable.

@AD et Gebrane.

Avec moi le titre aurait été :
"Riemann, Lebesgue and Sometimes Kurzweil-Henstock"

Amicalement,
e.v.

Dom

Ok.
C'était quand même quantifié n'importe comment, enfin... non quantifié...

Dans ce cas elle n'est pas intégrable au sens de Riemann, en effet.

gebrane

DOM
C'est bien quantifié si on comprend le même français :

f définie sur [0,1] par f(x) = blabla

signifie pour le commun des mortels

$\forall x\in $ [0,1] , f(x)= blabla

gerard0

C'est sur n qu'il faut imaginer une quantification ("$\exists n \in \mathbb N,\ x=\frac 1 n$").

Cordialement.

Dom

Mais oui voyons, on ne sait pas si c'est :

1) Soit n, on pose f(x) = ...

2) la fonction que tu as dans la tête.

J'ai bien compris pour le $x$.

Reconnais-le que c'est mal dit (sans problème de langue d'ailleurs) ;-)

gebrane

Bon, pour ces deux questions matinales ma cible était ev, j'aime bien sa quette sur KH.