Simplification d'un produit de sommes
Bonjour,
Je travaille actuellement sur de la coloration de graphes (avec pas mal de calculs de probas), et dans une certaine approximation je tombe sur un produit assez compliqué :
$$
\prod_{\substack {0\leq k_1,\ldots,k_t \leq \theta \\ k_1 + \cdots+ k_t = \theta }} \sum_{i=1}^t k_i^2.
$$
où $\theta$ et $t$ sont des naturels strictement positifs. L'idéal serait de trouver une forme simple, mais je n'ai rien trouvé pour l'instant.
Si une personne a une idée, une piste ou un commentaire, je suis preneur !
Merci d'avance.
Je travaille actuellement sur de la coloration de graphes (avec pas mal de calculs de probas), et dans une certaine approximation je tombe sur un produit assez compliqué :
$$
\prod_{\substack {0\leq k_1,\ldots,k_t \leq \theta \\ k_1 + \cdots+ k_t = \theta }} \sum_{i=1}^t k_i^2.
$$
où $\theta$ et $t$ sont des naturels strictement positifs. L'idéal serait de trouver une forme simple, mais je n'ai rien trouvé pour l'instant.
Si une personne a une idée, une piste ou un commentaire, je suis preneur !
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
;-)
pour $t=2$ il semble qu'il n'y ait pas de formule connue, voir l'OEIS, suite A323540
Avant tout, serait-il possible de savoir dans quel ensemble de nombres se trouve $\theta$ ?
Merci d'avance et à bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
$C(\theta)$ et l'hyperplan $H(\theta)$ (ce n'est pas bien compliqué)
:-)
;-)
;-)
Prenons les choses dans l'ordre :
Pour $t = 1, P(\theta)= \theta^2$ qui est clairement un polynôme en $\theta$.
Pour $t = 2$, la réponse à été donnée par Jandri avec la suite de l'OEIS.
Vu les indications données dans les commentaires, clairement $P(\theta)$ est exponentiel.
Comme le caractère de $P(\theta)$ semble exploser suivant les valeurs croissantes de t, il y a fort à parier que l'expression de $P(\theta)$ soit encore plus rapidement croissante pour les valeurs suivantes.
Les expressions pour $P(\theta)$ ont donc aussi de grandes chances d'être très mal référencées pour les valeurs de t plus grandes pour les mêmes raisons (OEIS n'apprécie pas fort les suites où il est seulement possible d'exprimer un ou deux termes quand les suivants sont plus grands que le nombre de particules de l'Univers, je me souviens en avoir vu une qui ressemblait à cela, voici l'exemple de ce que cela donne).
Maintenant, si on essaie de voir comment se comporte la fonction quand on borne la valeur de $\theta$ à 1 (et incidemment, les $k_i$ étant inférieurs à l'unité), cela pourrait donner d'autres pistes.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.